10.1.2事件的关系和运算
【学习目标】
【素养达成】
1.了解随机事件的并、交与互斥的含义.
数学抽象
2.能结合实例进行随机事件的并、交运算.
逻辑推理
一、两个事件的关系
项目
定义
符号表示
图形表示
包
含
关
系
一般地,若事件A发生,则事件B一定发生,我们就称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)
B?A
(或A?B)
相
等
关
系
如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B?A且A?B,则称事件A与事件B相等
A=B
二、事件的运算
定义
符号表示
图形表示
一般地,事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
A∪B
(或A+B)
续表
定义
符号表示
图形表示
一般地,事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B
(或AB)
【教材深化】
理解事件包含关系的注意点
(1)任何事件都包含不可能事件,即C??(C为任一事件).事件A也包含于事件A,即A?A.
(2)若两个事件相等,则这两个事件总是同时发生或同时不发生.
(3)①A?B可用逻辑语言表述为A发生是B发生的充分条件,B发生是A发生的必要条件;
②A=B可用逻辑语言表述为A发生是B发生的充要条件.
三、互斥事件与对立事件
定义
符号表示
图形表示
一般地,如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能事件,即A∩B=?,则称事件A与事件B互斥(或互不相容)
A∩B=?
一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即A∪B=Ω,且A∩B=?,那么称事件A与事件B互为对立.事件A的对立事件记为A
A∪B=Ω,
A∩B=?
【教材深化】
1.和事件与互斥事件的辨析
(1)和事件A∪B包含三种情况:①事件A发生,事件B不发生;②事件A不发生,事件B发生;③事件A,B都发生.
(2)事件A与事件B互斥包含三种情况:①事件A发生,B不发生;②事件A不发生,B发生;③事件A不发生,B也不发生.
注意:任意两个基本事件都是互斥的,?与任意事件互斥.
2.对立事件的理解
(1)事件A的对立事件记为A,A∩A=?,A∪A=Ω.若事件A,B互为对立事件,则A∪B是必然事件.
(2)对立事件是特殊的互斥事件,若A与B相互对立,则A与B互斥,但反之不成立,即“A与B相互对立”是“A与B互斥”的充分不必要条件.
3.多个事件的和事件、积事件
类似地,我们可以定义多个事件的和事件以及积事件.对于多个事件A,B,C,…,A∪B∪C∪…(或A+B+C+…)发生当且仅当A,B,C,…中至少一个发生,A∩B∩C∩…(或ABC…)发生当且仅当A,B,C,…同时发生.
【教材挖掘】(P231探究)
问题1:在掷骰子试验中,事件A=“点数为1”,事件B=“点数为奇数”,表示A与B两事件的集合有什么关系?A与B事件有什么关系?
提示:集合B包含集合A;事件A发生,则事件B一定发生.
问题2:在掷骰子试验中,用集合的形式表示事件D1=“点数不大于3”,事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”,借助集合与集合的关系和运算,你能发现这些事件之间的联系吗?
提示:D1={1,2,3},E1={1,2},E2={2,3}.{1,2}∪{2,3}={1,2,3},即E1∪E2=D1.
问题3:在掷骰子试验中,事件C2=“点数为2”,事件E1=“点数为1或2”和事件E2=“点数为2或3”,借助集合与集合的关系和运算,你能发现这些事件之间的联系吗?
提示:E1={1,2},E2={2,3},C2={2}.{1,2}∩{2,3}={2},即E1∩E2=C2.
【明辨是非】
(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)若两个事件是互斥事件,则这两个事件是对立事件.(×)
提示:对立事件是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件.
(2)若事件A和B是互斥事件,则A∩B是不可能事件.(√)
提示:因为事件A和B是互斥事件,所以A∩B为空集,所以A∩B是不可能事件.
(3)事件A∪B是必然事件,则事件A和B是对立事件.(×)
提示:反例:抛掷一枚骰子,事件A:向上的点数小于5,事件B:向上的点数大于2,则事件A∪B是必然事件,但事件A和B不是对立事件.
类型一判断两个事件的关系(数学抽象)
【典例1】在掷骰子试验中,可以得到以下事件,
A:{出现1点};B:{出现2点};C:{出现3点};D:{出现4点};E:{出现5点};F:{出现6点};G:{出现的点数不大于1};H:{出现的点数小于5};I:{出现奇数点};J:{出现偶数点}.
请判断下列两个事件的关系:
(1)B__