题组训练17导数的应用（二）极值与最值
1．函数y＝x3－3x2－9x(－2x2)有()
A．极大值为5，极小值为－27 B．极大值为5，极小值为－11
C．极大值为5，无极小值 D．极大值为－27，无极小值
答案C
解析y′＝3x2－6x－9＝3(x2－2x－3)＝3(x－3)(x＋1)，∴y′＝0时，x＝3或x＝－1.
∵－2x2，∴x＝－1时，y＝5.
x＝－1为极大值点，极大值为5，无极小值．
2．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝()
A.eq\f(1,ln2) B．－eq\f(1,ln2)
C．－ln2 D．ln2
答案B
解析由y＝x·2x，得y′＝2x＋x·2x·ln2.
令y′＝0，得2x(1＋x·ln2)＝0.∵2x＞0，∴x＝－eq\f(1,ln2).
3．设函数f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx，则()
A．x＝eq\f(1,2)为f(x)的极大值点 B．x＝eq\f(1,2)为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点 D．x＝2为f(x)的极小值点
答案D
解析因为f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx，所以f′(x)＝－eq\f(2,x2)＋eq\f(1,x)＝eq\f(x－2,x2)，且x0.当x2时，f′(x)0，这时f(x)为增函数；当0x2时，f′(x)0，这时f(x)为减函数．所以x＝2为f(x)的极小值点．故选D.
4．(2018·山西太原期中)设函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－x＋m的极大值为1，则函数f(x)的极小值为()
A．－eq\f(1,3) B．－1
C.eq\f(1,3) D．1
答案A
解析f′(x)＝x2－1，由f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－1.所以f(x)在区间(－∞，－1)上单调递增，在区间(－1，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在x＝－1处取得极大值，且f(－1)＝1，即m＝eq\f(1,3)，函数f(x)在x＝1处取得极小值，且f(1)＝eq\f(1,3)×13－1＋eq\f(1,3)＝－eq\f(1,3).故选A.
5．(2018·苏锡常镇一调)f(x)＝ex－x(e为自然对数的底数)在区间[－1，1]上的最大值是()
A．1＋eq\f(1,e) B．1
C．e＋1 D．e－1
答案D
解析f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，得x＝0.令f′(x)0，得x0，令f′(x)0，得x0，则函数f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，f(－1)＝e－1＋1，f(1)＝e－1，f(－1)－f(1)＝eq\f(1,e)＋2－eeq\f(1,2)＋2－e0，所以f(1)f(－1)．故选D.
6．若函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和eq\f(1,3)，则()
A．a－2b＝0 B．2a－b＝0
C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0
答案D
解析y′＝3ax2＋2bx，据题意，0，eq\f(1,3)是方程3ax2＋2bx＝0的两根，∴－eq\f(2b,3a)＝eq\f(1,3)，∴a＋2b＝0.
7．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值是()
A．－37 B．－29
C．－5 D．以上都不对
答案A
解析f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，
∴f(x)在(－2，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减．
∴x＝0为极大值点，也为最大值点．
∴f(0)＝m＝3，∴m＝3.
∴f(－2)＝－37，f(2)＝－5.
∴最小值是－37，选A.
8．若函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0，1)内有极小值，则()
A．0＜b＜1 B．b＜1
C．b＞0 D．b＜eq\f(1,2)
答案A
解析f(x)在(0，1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0，1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0.
∴b＞0.f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1.
综上，b的取值范围为0＜b＜1.
9．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图像可能是()
答案C
解析由f(x)在x＝－2处取得极小值可知，
当x－2时，f′(x)0，则xf′(x)0；
当－2x0时，f′(x)0，则xf′(x)0；
当x0时，xf′(x)0.
10．已知f(x)＝x3＋px2＋qx的图像与x轴相切于非原点的一点，且f(x)极小值＝－4，那么p，q值分别为()
A．6，9 B