《实变函数》课程大纲
课程编码：1908244108课程名称：实变函数
英文名称：RealVariableFunction
课程类型：?通识教育课程?学科基础教育课程?专业教育课程课程性质：?必修?方向?选修总学时数：64学时（授课64学时）总学分数：4先修课程：数学分析；复变函数适用专业：统计学
开课学期：第四学期
开课学院/部(室/所/其他）：数学与统计学院一、课程地位与作用
《实变函数》、《复变函数》和《泛函分析》构成了自微积分创立以来现代分析数学的三大分支，《实变函数》在函数研究方面有举足轻重的地位。
本课程是数学与应用数学专业学生开设的专业教育必修课程。
《实变函数》是微积分的进一步发展，它揭示出Riemann积分存在的缺陷，给出了完善测度理论和新型Lebesgue积分理论，恰当地改造了《数学分析》中Riemann积分的定义使更多的函数可积，是数学的一次深刻变革与发展。《实变函数》在《泛函分析》及《概率论》等许多领域都产生了极大的影响并有重要的应用，为近代分析数学奠定了基础。
学习《实变函数》之前，须先修《数学分析》和《复变函数》。
课程目标
该课程侧重理论知识的培养，通过本课程的理论教学，实现下列目标：
学习《实变函数》的知识内容
可列集的定义及性质；
一维开集的构造定理及Cantor集的构造和性质；
有界点集外、内测度的定义及性质；
可测集的定义及性质；
可测函数的定义及性质；
可测函数列的收敛定理及这些收敛间的关系；
L可积的概念和性质；
L积分与极限换序定理的内容及应用；
L积分与R积分间的比较。
理解和领悟《实变函数》研究内容的实质
实变函数论创立一套新的Lebesgue积分理论，其中包括测度理论。它克服了Riemann积分中一些苛刻的条件，比如对微积分基本定理，Riemann可积函数，积分与极限交换次序等，得到了一系列漂亮而又非常实用的结果，把函数的研究范围从基本上连续拓宽为几乎处处连续，为以后的学习和研究开启了一扇大门。
掌握《实变函数》的核心内容
《实变函数》的核心内容是Lebesgue测度和Lebesgue积分理论，要应用比较的方法，深刻理解测度论的发展、积分与极限交换次序运算中实变函数论与数学分析间的区别和联系。
学研究能力
学习《实变函数》的理论知识后，可以提高学生的抽象思维能力和逻辑推导能力。
课程目标支撑毕业要求
课程目标
毕业要求1
毕业要求2
毕业要求3
毕业要求4
毕业要求5
毕业要求6
毕业要求7
毕业要求8
目标1
√
√
目标2
√
√
目标3
√
√
目标4
√
√
√
课程教学内容与基本要求
第一章集与点集
参考课时：14学时(支撑课程目标1、4)
教学目标：目的是让学生掌握可列集、不可列集的概念，了解一些常见的可列集和不可列集，掌握可列集的性质；掌握一维直线上的开集的构造定理；Cantor三分集的构造与性质。
教学内容：集及其运算；映射·集的对等·可列集；一维开集、闭集及其性质；开集的构造；集的势·序集。
学习重点：可列集的概念和性质；一维不可列集的例子；Cantor三分集的构造与性质；一维开集的构造。
学习难点：开集、闭集、聚点、完全集、集合对等及基数等概念，可列集的概念及性质，常见可列集和不可列集的例子，一维直线上开集的构造定理及Cantor三分集的构造与性质。
学习建议：学生自己利用计算机演示Cantor三分集的构造过程，深刻理解该集合的性质。
第二章Lebesgue测度(支撑课程目标1、2、3、4)参考课时：14学时教学目标：要求学生掌握一维可测集的概念、性质及其与开闭集测度间的关系。
教学内容：一维开集、闭集的测度及其性质；有界点集的外、内测度、可测集；可测集的性质；关于测度的几点评注。
学习重点：开集（闭）集测度的定义与性质；有界点集的内（外）测度，可测集的定义与性质；单调集。
学习难点：有界点集的外、内测度、可测集；可测集的性质及可测集与开、闭集间的区别与联系。学习建议：学生查阅数学史，了解测度的发展历程，深刻理解外侧度性质比内测度性质的优越性。
第三章可测函数（支撑课程目标1、2、3）参考课时：16学时
教学目标：要求学生掌握可测函数的概念、性质、构造及可测函数列的收敛性。
教学内容：简单函数的概念；可测函数的概念及性质；可测函数列的收敛性；可测函数的构造。
学习重点：可测函数的基本性质和构造，可测函数列各种收敛性间的关系；叶果洛夫定理，鲁津定理，Riesz定理的内容。
学习难点：可测函数的构造，可测函数列各种收敛性间的关系；鲁津定理，Riesz定理，叶果洛夫定理及其逆定理的内容和证明。
学习建议：对比数学分析课程中函数列的收敛概