根据线性模型回归模型的经典假设，随机干扰项服从多元正态分布，即～由式（2.16）可以知道，参数估计中的任何一个元素等于矩阵中的对应元素加上的线性组合。假定服从多元正态分布，那么也服从多元正态分布。由（2.19）式和（2.20）式，可以得到～（2.49）第62页，共124页，星期日，2025年，2月5日这里用它的无偏估计近似代替。利用的方差估计式就可以对参数估计进行显著性检验。在线性回归模型分析中，除了要对单个参数进行检验，还要检验多个解释变量对被解释变量Y的共同影响是否显著。这种检验是多方面的检验，要反复筛选解释变量和反复检验。通常构造统计量F进行这些检验。第63页，共124页，星期日，2025年，2月5日为了构造F统计量，必须证明： 1、服从分布。 2、与的分布互相独立。 首先证明服从分布。由矩阵的秩的性质可以知道，如果M是是等幂矩阵，则 由(2.29)式，可以得到第64页，共124页，星期日，2025年，2月5日因此，最小二乘基本等幂矩阵M为一个降秩矩阵，并且存在一个维正交矩阵P，满足第65页，共124页，星期日，2025年，2月5日如果把干扰项看做利用正交矩阵P对一个维随机变量列矩阵V作线性变换得到的，即 那么，(2.50)第66页，共124页，星期日，2025年，2月5日由正交矩阵的性质，也是正交矩阵，并且P和 中的行向量都是单位向量，两两正交，所以与 有相同方差。由于～，那么～。由(2.50)式可以知道，为个均值为0，方差为的满足独立正态分布变量的平方和。因此，服从自由度为的分布，即 所以～(2.51)第67页，共124页，星期日，2025年，2月5日下面证明与的分布互相独立。由于 将(2.25)式和(2.16)式代入上式得(2.52) 因此，与的分布互相独立。即与的分布互相独立。第68页，共124页，星期日，2025年，2月5日二、参数估计的显著性检验与总体参数的
置信区间下面讨论的检验问题。为了得到多种假设检验和的置信区间的一般方法，首先对作线性变换。 则(2.53)第69页，共124页，星期日，2025年，2月5日其中，为维列矩阵。C为维常数矩阵。r为待检验的参数数目，k为全部参数的数目。显然。假设C为满秩矩阵，即。这样只要改变C的定义形式，对的检验可以代表对中不同参数估计的各种检验。 随机矩阵的期望和协方差分别为第70页，共124页，星期日，2025年，2月5日和由于是的线性变换，服从多元正态分布，所以也服从多元正态分布。并且的元素之间是互相独立的。第71页，共124页，星期日，2025年，2月5日服从自由度为r的分布，即