关于误差理论数学模型第1页，共9页，星期日，2025年，2月5日3.1误差的来源误差按来源可分为模型误差、观测误差、截断误差和舍入误差四种。1、模型误差数学模型通常是由实际问题抽象得到的，一般带有误差，这种误差称为模型误差。2、观测误差数学模型中包含的一些物理参数通常是通过观测和实验得到的，难免带有误差，这种误差称为观测误差。3、截断误差求解数学模型所用的数值方法通常是一种近似方法，这种因方法产生的误差称为截断误差，亦称为方法误差。4、舍入误差由于计算机只能对有限位数进行运算，对计算得到的中间结果数据要使用“四舍五入”或其他规则取近似值，因而使计算过程产生误差。这种误差称为舍入误差。第2页，共9页，星期日，2025年，2月5日3.2误差的基本概念一、绝对误差给定一实数x*，它的近似值为x，则称e=x*-x为近似值x的绝对误差，简称误差。若存在一个正实数，使得则称为近似值x的绝对误差限，简称误差限。二、相对误差绝对误差通常不能完全反映近似数的精确程度，它还依赖于此数本身的大小，因此有必要引进相对误差的概念。近似值x的相对误差定义为然而实际计算中真值通常难以求得，人们常以作为相对误差。 第3页，共9页，星期日，2025年，2月5日3.3有效数字若近似值x的误差限是某一位的半个单位,该位到x的第一位非零数字共有n位,就说x有n位有效数字。科学计数法中通常将n位有效数字x表示为：也即例如：0.2300有4位有效数字，而0.0023只有2位有效数字。12300如果写成0.123?105，则表示只有3位有效数字。数字末尾的0不可随意省去！第4页，共9页，星期日，2025年，2月5日3.4误差的传播一、四则运算中误差的传播下面不加证明地给出两数和、差、积和商的误差传播公式：第5页，共9页，星期日，2025年，2月5日二、函数运算中误差的传播当自变量有误差时，计算函数值的误差（限）也可利用函数的泰勒展开式进行估计。忽略的高阶项，得其误差限为：其解的相对误差为：相对误差限为：第6页，共9页，星期日，2025年，2月5日3.5数值计算中应注意的问题为了减小舍入误差的影响，设计算法时一般应注意如下问题：避免两个相近的数相减避免绝对值过小的数作除数避免大数吃掉小数先化简再计算，减少计算步骤，避免误差积累采用数值稳定性好的算法第7页，共9页，星期日，2025年，2月5日