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2025年中考数学考前冲刺：图形问题（实际问题与二次函数）压轴练习题
一、解答题
1．如图，是的直径，平分交于点，点在的延长线上，满足.
(1)求证：与相切；
(2)在下列两个等式中，正确的请在相应的括号中打“√”，错误的打“×”，并选择其中一个正确的等式进行证明；
①（????）；②（????）；
(3)设的面积为，的面积为，若，，试求关于的函数关系式，并求当为何值时，的值最大.
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点在抛物线上，点的横坐标为，点的坐标为，以为对角线作矩形，使轴．
(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)当时，求抛物线在矩形内部的图象（包含边界）的最大值与最小值的差；
(3)当抛物线与矩形的边恰好有4个交点时，求的取值范围；
(4)当点在抛物线对称轴左侧时，若矩形的边或与抛物线交于点（点不与点重合），连结，若与坐标轴恰好有一个交点时，直接写出的取值范围．
3．已知：矩形中，，点E是边上一点，，连接，沿翻折使点B落在点F处，连接．
(1)如图1，若，；
(2)当C，F，A三点共线时，求此时m的值；
(3)连接，①当最短时，求m的值；②若，求m的取值范围．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的函数解析式及顶点的坐标；
(2)连接，若点在线段上运动（不与点重合），过点作轴于点，对称轴交轴于点．设，当为何值时，与的面积之和最小？
(3)将抛物线在轴左侧的部分沿轴翻折，保留其他部分得到新的图象，在图象上是否存在点，使为直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
5．定义：一组对角相等，另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”．
(1)如图1，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，CD平分∠ACB，点E在直线AC上，以点B、C、E、D为顶点构成的四边形为“等对角四边形”，求AE的长．
(2)游山玩水是人们喜爱的一项户外运动，但过度的旅游开发会对环境及动植物的多样性产生影响．如图③，△ABC所在区域是某地著名的“黄花岭”风景区示意图，点B位置是国家珍稀动植物核心保护区，其中∠C＝90°，BC＝6km，AC＝8km，该地旅游部门为科学合理开发此风景区旅游资源，计划在景区外围D点建一个“岭南山庄”度假村，据实际情况，规划局要求：四边形ABCD是一个“等对角四边形”（∠BCD≠∠BAD），核心区B与山庄D之间要尽可能远，并且四边形ABCD区域的面积要控制在56km2以内．请问BD是否存在最大值，规划局的要求能否实现？如果能，请求出BD的最大值及此时四边形ABCD的面积；如果不能，请说明理由．
(3)如图3，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是“等对角四边形”，其中A（﹣2，0）、C（2，0）、B（﹣1，﹣），点D在y轴上，抛物线过点A、C，点P在抛物线上，满足∠APC＝∠ADC的点至少有3个时，总有不等式2n﹣≤2c2+16a﹣8成立，直接写出n的取值范围．
6．如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为,,,动点P从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿边向终点A运动；动点Q从点B同时出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向终点C运动．设运动的时间为t秒，．
(1)直接写出y关于t的函数解析式及t的取值范围：___________；
(2)当时，求t的值；
(3)连接交于点F，若双曲线经过点D，问k的值是否变化？若不变化，请求出k的值；若变化，请说明理由．
7．【问题探究】
（1）如图，在中，，点为上一点，且，于点，若的面积为，求的长．
【问题解决】
（2）如图，某小区有一块三角形空地，其中米，米，开发商计划在这片空地上进行绿化和修建运动场地，在边上选一点，边上取一点，使得，过点作EF//交于点，连接，在和区域内绿化，在四边形区域内修建运动场地．若设的长为米，运动场地四边形的面积为平方米．
①求与之间的函数关系式；
②运动场地四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出运动场地四边形面积的最大值及取得最大值时的长；若不存在，请说明理由．
8．如图，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)已知点D是抛物线的对称轴与x轴的交点，点E的坐标为，点E与点F关于抛物线的对称轴对称，连接，，，点P，Q是抛物线上两个动点，若与是以点D为位似中心的位似图形，求与的相似比．
9．问题情境
图①是一块三角形形状的边角料，记作，，边上的高．现要从这块边角料上剪出一个矩形，使顶点E，F在边上，顶点D，G分别在，上，设与高交于点M．
初步探究
(1)经测量