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2025年中考数学考前冲刺：二次函数与特殊的三角形综合压轴练习题
1．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线．
(1)求抛物线的关系式；
(2)请在抛物线的对称轴上找一点P，使的周长最小，并求此时点P的坐标．
(3)动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动（到点B停止），过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（）秒．△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
2．抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且，，与y轴交于点C．连接BC，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC．点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)x轴上是否存在一点P，使为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．
3．已知二次函数的图象与轴交于和，与轴交于点．
(1)求该二次函数的表达式．
(2)如图，连接，动点以每秒个单位长度的速度由向运动，同时动点以每秒个单位长度的速度由向运动，连接，当点到达点的位置时，、同时停止运动，设运动时间为秒．当为直角三角形时，求的值．
(3)如图，在抛物线对称轴上是否存在一点，使得点到轴的距离与到直线的距离相等，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于点和点B，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式及对称轴；
(2)如图，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若，求点P的坐标；
(3)点M是抛物线上一动点，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，经过A、C两点的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的另一交点为．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点P是该抛物线上的动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，设点P的横坐标为t（－4＜t＜0）．
①求出四边形PAOC面积S与t的函数表达式，并求S的最大值；
②当△PEC为等腰三角形时，求所有满足条件的t的值．
6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P为直线上方抛物线上一动点，过点A作交抛物线于点D，连接，记四边形的面积为，的面积为，当的值最大时，求点P的坐标和的最大值；
(3)如图2，将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点O，G为平移后的抛物线的对称轴直线l上一动点，将线段沿直线平移，平移过程中的线段记为（线段始终在直线l的左侧），是否能使得是等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足要求的点G的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，已知点，点，点，直线l为，且直线直线AC，垂足为点D，抛物线为经过点A、B、D三点．
(1)求a、b、c的值．
(2)点E在抛物线上，过点E作轴，交直线AC于点F，若点E由点A运动到点D的过程中，求线段EF的最大值．
(3)点P、Q分别在线段AB、AD上，连接PQ、BQ，若点P由点A运动到点B的过程中，是否存在和中一个是等腰三角形另一个是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图，四边形的顶点坐标分别为，，，，抛物线经过，，三点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)求抛物线的解析式；
(3)绕平面内一点顺时针旋转得到，即点，，的对应点分别为，，，若恰好两个顶点落在抛物线上，请直接写出的坐标．
9．如图，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点，连接AB，BC，对称轴PD交AB与点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，试探究：线段BC上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图3，点Q是抛物线的对称轴PD上一点，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．
10．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于、两点，与轴交于点，连接、，其中，．
(1)求该抛物线的函数解析式；
(2)点是直线上方抛物线上一点，过点作轴交直线于点，求的最大值，并写出此时点的坐标；
(3)如图2，设点是原抛物线的顶点，轴上有一点，将原抛物线沿轴正方向平移恰好经过点时停止，得到新抛物线，点为的对称轴上任意一点，连接，当是等腰三角形时，直接写出所有符合条件的点的坐标．
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