第2讲函数极值与最值
典型例题
【例1】设函数,若在处取得极小值,求实数的取值范围.2.已知函数,若函数的极大值大于1,求实数的取值范围.
【例2】已知函数，若函数的极大值大于，求实数的取值范围.
【例3】已知函数,且,若函数的极小值为,求实数的值.
【例4】已知函数.
(1)求证:当时,.
(2)设,试判断函数的极值情况.
【例5】已知函数.
(1)求的单调区间.
(2)设函数,求证:当时,在上存在极小值.
【例6】已知函数.
(1)若,求函数的最小值.
(2)判断函数的极值个数.
【例7】已知函数,设,求在区间上的最大值和最小值.
【例8】已知函数,求函数在上的最大值和最小值.
【例9】已知函数,求函数在区间上的最大值和最小值.
【例10】已知函数,求导数在区间上的最大值和最小值.
【例11】已知函数,求证:当时,函数存在唯一的极小值点,且.
【例12】已知函数,当时,求函数的极小值.
【例13】已知函数.求证:当时,函数既有极大值又有极小值.
【例14】已知函数,若在上无极值点,求的值.
【例15】设函数有两个极值点,试讨论过两点的直线能否过点.若能,求的值;若不能,说明理由.
【例16】已知函数,若函数在区间上有极值,求实数的取值范围.
【例17】已知函数,若函数在区间内有且只有一个极值点,求实数的取值范围.
【例18】已知函数,当时,求证:在上存在最小值.
【例19】对于函数,若存在实数满足,则称为函数的一个不动点.已知函数,其中.若有两个相异的极值点,则是否存在,使得均为的不动点?证明你的结论.
【例20】已知函数.设为曲线在点处的切线,其中
(1)求直线的方程(用表示).
(2)设为原点,直线分别与直线和轴交于两点,求的面积的最小值.
【例21】设函数.若的两个极值异号,求证:的两个较小的零点满足.
【例22】已知函数,当时,若有极小值,求实数的取值范围.
【例23】已知函数,当时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.
【例24】已知函数,若恒成立,求实数的取值范围.