函数极值与最值
典型例题
分类讨论研究函数的极值问题
【例1】已知函数,其中.若函数的极小值小于0,求实数的取值范围.
【分析】本题可以通过导数符号来判断原函数的单调性,进而用含参数的式子表示出的极小值,由极小值小于0,可求出实数的取值范围.然而,判断导数的符号需要研究导数的零点,这就需要对参数进行分类讨论,逐步判断参数范围的可行性,最后对参数的范围求出并集即可.
【解析】解法一：按最高次项系数与根的大小分类.
对函数求导,得
令,得.
当时,随的变化情况见表.
表
1
0
0
极大值
极小值
所以,符合题意.
当时,,则,所以在,上单调递减,没有极值,不合题意.
当时,随的变化情况见表.
表
1
0
0
极小值
极大值
所以,不合题意.
当时,随的变化情况见表.
表
1
0
0
极小值
极大值
所以,解得.
综上所述,的取值范围是.
解法二.等价转化,减少分类讨论的情况.
因为函数的极小值小于0,所以有解,即有解.所以,则或.
因为
令,得.
当时,的变化情况见表.
表
1
0
0
极大值
极小值
所以,符合题意.
当时,的变化情况见表.
表
1
0
0
极小值
极大值
所以,符合题意.
综上所述,的取值范围是.
【点睛】本题中函数的导数通过因式分解得到,,由于,且,因此只需研究二次函数的符号即可,这就要讨论其开ロ方向和两根的大小,这也是在含参不等式的分类讨论中经常遇到的问题.
利用阶梯式设问判断极值点的个数
【例2】已知函数
(1)判断方程为的导数)在区间内的根的个数,并说明理由.
(2)若函数在区间内有且只有一个极值点,求实数的取值范围.
【分析】极值点个数是由函数的单调性决定的,而函数的单调性以及导数的零点情况有时在题目的前面问题中已有涉及,本题第(2)问中,函数的导数恰满足,而的零点情况在第(1)问中已有解决,这时要注意挖掘前、后问题的联系,寻求解决问题的捷径.
【解析】(1)设,则
当时,,则函数为减函数.
因为,所以有且只有一个,使成立.
所以函数在区间内有且只有一个零点,即方程在区间内有且只有一个实数根.
(注:本问还有其他解法,见节“零点问题与两个函数交点问题的等价转化”.)
(2)解法一利用第(1)问的结论研究导数的符号.
因为函数在区间内有且只有一个极值点,所以在区间内有且只有一个变号零点.
由(1)知在区间内,单调递减并且有且只有一个零点,当变化时,的变化情况见表.
表
0
极大值
故函数在处取得极大值.
当时,虽然函数在区间内有且只有一个零点,但是在两侧同号,不满足在区间内有且只有一个极值点的要求.
由于,显然.若函数在内有且只有一个变号零点,则只需满足即解得.
此时,使,即,且当时,单调递减;当时,单调递增.故在处取得极小值,满足题意.
解法二参变分离:分离出参数的相反数.
因为函数在区间内有且只有一个极值点,所以在区间内有且只有一个变号零点.
由,得,设,则
由(1)知,在区间内,单调递减,并且有且只有一个零点.同解法一,知在上单调递增,在上单调递减,所以.
由题意知与在内有且仅有一个公共点.设,当时,,所以,即,因此在区间内,恒成立,故无极值点.
于是,故,即,此时,由的单调性知,当时,单调递减;当时,单调递增.
所以在处取得极小值,满足题意.
【点睛】有些题目在设置的时侯,为了降低难度会采用阶梯式设问,解答时就要注意挖掘各问之间的联系，恰当使用前面问题的结论会给后面的解题带来许多方便.
通过比较函数值大小判断函数最值
【例3】已知函数.
(1)求函数的单调区间.
(2)当时，求函数在区间上的最大值.
【分析】求函数在闭区间上的最值问题,可以先通过研究其导数符号判断原函数的单调性,当函数在闭区间上单调时,最值即取相对应的端点的函数值;当函数在闭区间上不单调时,则需要比较端点函数值的大小.比较函数值大小的方法可以参考比较两数大小的方法,如作差法、作商法、中间值法,因为函数值含参数,所以必要的时候要对参数进行分类讨论.
【解析】(1)由,得
令,得.
当变化时,的变化情况见表.
表
1
0
0
极大值
极小值
所以函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)(1)当,即时,由(1)可得在上单调递减,所以在上的最大值为
(2)当,即时,由(1)可得在上单调递减,在上单调递增,所以函数在区间上的最大值为.
下面比较与的大小.
【解析】解法作差法