第1讲运用导数研究函数的单调性
典型例题
【例1】已知函数,求函数的单调区间.
【解析】对函数求导,得,其定义域为.
当时,,函数在上为减函数.
当时,令,得,则为增函数;令,得,则为减函数.
所以当时,函数的单调递减区间是.当时,函数的单调递增区间是;单调递减区间是.
【例2】已知函数,当时,求函数的单调区间.
【解析】当时,
当时,
对求导,得
令,得或.
当变化时,和在上的变化情况见表A.1.表A.1
2
3
0
0
极大值
极小值
由表可知当时,,则
令,得.
当变化时,和在上的变化情况见表A.2.
表A.2
0
极大值
综上所述,函数的单调递增区间为的单调递减区间为.
【例3】已知函数,求函数的单调区间.
【解析】已知函数的定义域为,则
(1)当,即时,因为,所以的单调递增区间为.
(2)当,即时,令,得.
当时,;当时,.
所以的单调递增区间为,单调递减区间为.
综上所述,当时,的单调递增区间为;当时,的单调递增区间为,单调递减区间为.
【例4】已知函数在上是减函数,求实数的取值范围.
【解析】解法一参变分离.因为,所以
因为在上是减函数,所以在上恒成立.因为,所以在上恒成立.
所以.又因为,所以.
因为,当且仅当时等号成立,所以,故.
解法二讨论二次函数(导数的分子部分).
因为,所以
因为在上是减函数,所以在上恒成立.因为,所以在上恒成立.
设,则二次函数是开口向下的抛物线,且,对称轴为.
因为在上恒成立,所以或解得.
【例5】已知函数,求的单调区间.
【解析】对求导,得.
当时,,所以函数的单调递增区间为;当时,若,若,所以此时函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
综上所述,当时,函数的单调递增区间为;当时,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.
【例6】已知函数,其中,若在区间上为增函数,求实数的取值范围.
【解析】函数的定义域为,则.
因为在区间上为增函数,所以在上恒成立,即,则在上恒成立,由于,所以.
【例7】已知函数.当时,求的单调区间.
【解析】依题意,有
所以在区间上单调递减.
因为,所以,因此,即,所以的单调递减区间是,没有单调递增区间.
【例8】已知函数,若,求证:函数在上为减函数.
【解析】当时,函数,所以
令,则只需证:当时,.
又因为,故在上为减函数,所以,因此,函数在上是减函数.
【例9】设函数,求的单调区间.
【解析】对求导,得.由知,与同号.
令,则,令,得.当时,,故在上单调递减;当时,,故在上单调递增.所以是在区间上的最小值,从而在上恒成立.
所以,故的单调递增区间为.
证法一对函数求导,得
令,则
令,解得.当变化时,与在上的变化情况见表A.3.
表A.3
0
极小值
所以函数在时取得最小值,且.
所以在上恒大于零.
于是当时,恒成立.
所以函数在上为增函数.
证法二对函数求导,得
设,则
由于,当时,,当时,,故在上单调递减,在上单调递增.所以当时,有最小值.
当时,,则,所以在上为增函数.
证法三对函数求导,得
因为,当时,,所以,所以在上为增函数.
证法四对函数求导,得
当时,,则
当时,,则
故总有,所以.所以在上为增函数.
证法五当时,
则,所以,故.所以在上为增函数.
证法一对函数求导,得
令,则
令,解得.当变化时,与在上的变化情况见表A.3.
表A.3
0
极小值
所以函数在时取得最小值,且.
所以在上恒大于零.
于是当时,恒成立.
所以函数在上为增函数.
证法二对函数求导,得
设,则
由于,当时,,当时,,故在上单调递减,在上单调递增.所以当时,有最小值.
当时,,则,所以在上为增函数.
证法三对函数求导,得
因为,当时,,所以,所以在上为增函数.
证法四对函数求导,得
当时,,则
当时,,则
故总有,所以.所以在上为增函数.
证法五当时,
则,所以,故.所以在上为增函数.
证法一对函数求导,得
令,则
令,解得.当变化时,与在上的变化情况见表A.3.
表A.3
0
极小值
所以函数在时取得最小值,且.
所以在上恒大于零.
于是当时,恒成立.
所以函数在上为增函数.
证法二对函数求导,得
设,则
由于,当时,,当时,,故在上单调递减,在上单调递增.所以当时,有最小值.
当时,,则,所以在上为增函数.
证法三对函数求导,得
因为,当时,,所以,所以在上为增函数.
证法四对函数求导,得
当时,,则
当时,,则
故总有,所以.所以在上为增函数.
证法五当