第48讲二次函数应用题(二)———面积问题
典例精练
【例】(2024湖北)如图，学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成.已知墙长42m，篱笆长80m.设垂直于墙的边AB长为xm，平行于墙的边BC长为ym，围成的矩形面积为Sm2.
(1)求y与x,S与x的解析式.
(2)围成的矩形花圃面积能否为750m
(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值?若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值.
针对训练
1.问题背景为美化校园，某学校计划在如图所示的正方形ABCD花坛内种植红、蓝、黄三种颜色的花卉，在四个全等三角形(阴影部分)内种植红色花卉，正方形IJKL内种植蓝色花卉，剩下四个全等三角形内种植黄色花卉.AB的长为8m，AE=LI..红、蓝、黄三种花卉的单价分别为40元/m2,100元/m2,60元,/
建立模型设AE的长为xm，购买花卉的总费用为W元.
(1)用含x的式子分别写出红、蓝、黄三种颜色花卉的种植面积；
(2)求W与x之间的函数解析式；
方案决策(3)当购买花卉的总费用最少时，求EI的长.
2.为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙(墙长12m)和21m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地.某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙)，请根据设计方案回答下列问题.
(1)方案一：如图1，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE=1m的水池，且需保证总种植面积为32m
(2)方案二：如图2，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长?此时最大面积为多少?
3.如图，某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为16m的墙，现准备用一段长为60m的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开.
(1)设BC=x,则AB=(用含x的式子表示);
(2)当BC的长为多少时，两间花圃的总面积最大?最大面积为多少?
4.(2023武汉四调)春回大地，万物复苏，又是一年花季到.某花圃基地计划将如图所示的一块长40m，宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域.其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉.活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m.A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是200元，300元，400元.
(1)设育苗区的边长为xm，用含x的代数式表示下列各量：
花卉A的种植面积是m2，
花卉B的种植面积是m2，
花卉C的种植面积是m2；
(2)育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等?
(3)若花卉A与B的种植面积之和不超过560m
第48讲二次函数应用题(二)———面积问题
典例精练
【例】(2024湖北)如图，学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成.已知墙长42m，篱笆长80m.设垂直于墙的边AB长为xm，平行于墙的边BC长为ym，围成的矩形面积为Sm2.
(1)求y与x,S与x的解析式.
(2)围成的矩形花圃面积能否为750m2?若能，求出x的值.
(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值?若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值.
解:(1)∵篱笆长80m,∴AB+BC+CD=80m,
∵AB=CD=xm,BC=ym,∴x+y+x=80,∴y=80-2x.
∵墙长42m,∴080-2x≤42,解得19≤x40,
由题意,得S=BC·AB=y·x=(80-2x)x=-2x2+80x.
(2)令S=750,则?2
整理，得x
此时，△=b
∴一元二次方程.x2
∴围成的矩形花圃面积能为750
∴x?=25,x?=15.∵19≤x40,∴x=25.
(3)根据(1)得:S=?2
∵--20,∴S有最大值,∵19≤x40,
∴当x=20时,S取得最大值,此时S=800.
即当x=20时,S的最大值为800.
针对训练
1.问题背景为美化校园，某学校计划在如图所示的正方形ABCD花坛内种植红、蓝、黄三种颜色的花卉，在四个全等三角形(阴影部分)内种植红色花卉，正方形IJKL内种植蓝色花卉，剩下四个全等三角形内种植黄色花卉.AB的长为8m，AE=LI.红、蓝、黄三种花卉的单价分别为40元/m2,100元/m2,60元/m2.
建立模型设AE的长为xm，购买花卉的总费用为W元.
(1)用含x的式子分别写出红、蓝、黄三种颜色花卉的种植面积；
(2)求W与x之间的函数解析式；
方案决策(3)当购买花卉的总费用最少时，求EI的长.
解:(1)∵AE=xm,AB