2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）
暨2024年全国高中数学联合竞赛
一试试题（A）
一、填空基本大K共8小题,每小题8分，满分64分.
1.若实数m〉1满足log9（log8m）=2024,则log3（log2m）的值为.
2.设无穷等比数列也温的公比q满足0V|q|1.若也展的各项和等于国｝各项的平方和，则Q2的取值范是
3.设实数q,b满足:集合A—｛xER\x2—10x+q0｝与B=伐€R|%状｝的交集为［4,9］,则q+b的值为
4.在三棱锥P-ABC中，若R4上底面BC,且棱B,BP,BC,CP的长分别为1,2,3,4,则该三棱锥的体积为
5.一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为
Q,b.若事件Q+b=7发生的概率为当则事件％=b发生的概率为.
6.设六游是定义域为R、最小正周期为5的函数.若函数g危）=爬）在区间［0,5）上的零点个数为25,则g如）在
区间［1,4）上的零点个数为.
7.设ME为椭圆Q的焦点，在Q上取一点P（异于长轴端点），记。为△朋风的外心，若同-瓦瓦=2而?声，则
Q的离心率的最小值为.
8.若三个正整数Q,b,c的位数之和为8,且组成q,b,c的8个数码能排歹0为2,0,2,4,0,9,0,8,则称（a,b,c）为“幸运数
组”，例如（9,8,202400）是一个幸运数组.满足10abc的幸运数组（q,b,c）的个数为.
二、解答麒本大题共3小题雨分56分.解答应写出字说明、证明过程或演算步骤.
9.（本题满分16分）在ABC中，已知cosC=s沈气cos=求cosC的值.
10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线「：^_就=1的右顶点为将圆心在。轴上，且与「的两支各恰
有一个公共点的圆称为“好圆”.若两个好圆外切于点P,圆心距为d,求的所有可能的值.
11.（本题满分20分）设复数z,街满足?+踞=2,求$=2街|+\w2—2z\的最小可能值.
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2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）
K2024年全国高中数学联合竞赛
加试试题（A卷）
一.（本题满分40分）给定正整数，，求最大的实数G使得存在一个公比为尸的实数等比数列{s}e，满足hnll2
e对所有正整数n成立.（椰II表示实数rr到与它最近整数的距离.）
二.（本题满分40分）如图，在凸四边形BCQ中，平分ABA，点E,『分别在边上，满足时||此,分
别延长F,瓦4至点P,Q,使得过点A.B.P的圆切1及过点4DQ的圆叫均与直线C相切.证明：B,P,Q,O四点
共圆.（答题时储将图画在答卷纸上）
三.（本题滴分50分）给定正整数儿在一个3xn的方格表上，由一些方格构成的集合S称为“连通的”，如果对S
中任意两个不同的小方格存在整数32及S中Z个方格a=g,g,...,G=b,满足G与G+1有公共边0=1,
2,1）.
求具有下述性质的最大整数K:若将该方格表的每个小方格任意染为黑色或白色，总存在一个连通的集合S,使
得S中的黑格个数与白格个数之差的绝对值不小于K.
四.（本题满分50分）设4B为正整数，S是一些正整数构成的一个集合,具有下述性质:
（1）对任意非负整数k,有万eS；
（2）若正整数n6S,则n的每个正约数均属于S;
（3）若m,n€S,且互素,则mnES;
（4）若nGS,则An+BES.
证明：与B互素的所有正整数均属于S.
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暨2024年全国高中数学联合竞赛