重难点题型分类专题10新定义型
重难点题型分类
【题型1：二次根式中的新定义题】【题型2：勾股定理中的新定义题】
【题型3：平行四边形中的新定义题】【题型4：一次函数中的新定义题】
【题型5：压轴真题】
题型1二次根式中的新定义题
题型1
1．在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
对于两个数a，b，称为a，b这两个数的算术平均数．
称为a，b这两个数的几何平均数，称为a，b这两个数的平方平均数．
小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程
(1)若，则_____，_____，_____；
(2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示．
①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为的图形；
②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是______（把M，N，P从小到大排列，并用“”或“”号连接）．
【详解】（1）解：当时，
，
，
，
故答案为：，，；
（2）①，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：
，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：
②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立，
都是正数，
都是正数，
，
故答案为：．
2．对于任意两个非零实数a、b，定义运算如下：
如：，．
根据上述定义，解决下列问题：
(1)______，______；
(2)若，求x的值．
【详解】（1）解：由题意，得：，
∵，
∴；
故答案为：，；
（2）当，即：时，则：，解得：，
经检验，是原方程的解，
∵，
∴（舍去）；
当，即：时，则：，
∴或（舍去）；
∴．
3．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：，求的值，可以这样解答：
因为，所以．
(1)代数式中x的取值范围是______；
(2)已知：，求：
①_____；
②结合已知条件和第①问的结果，解方程：．
【详解】（1）解：，解得：，
∴x的取值范围为．
故答案为：．
（2）解：①∵，
∴．
故答案为：2．
②由题意可得：，则，解得：，
经检验，是方程的根．
∴方程的解为．
4．小明在探究二次根式时发现了下列两个有趣的变形：
（一）一些分母含有二次根式加减的式子也可以分母有理化，如：
；
．
（二）一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：
，，；
再根据平方根的定义可得：
，，；
请回答下列问题：
(1)归纳：观察上面的解题过程，请直接写出下列各式的结果．
①______；（n为正整数）=______．
②______；当时，化简______．
(2)应用：求；的值．
(3)拓广：求的值．
【详解】（1）解：①；
；
故答案为：；（n为正整数）；
②；
；
故答案为：；；
（2）
；
（3）
，
．
5．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为
，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．
例如：已知，求的值，可以这样解答：
因为，
所以．
(1)已知：，求：
①________；
②结合已知条件和第①问的结果，解方程：；
(2)代数式中的取值范围是________，最大值是________，最小值是_________；
(3)计算：．
【详解】（1）解：①∵，
∴；
故答案为：2
②由①得，已知，两式相加得到，
，
即，
则，解得，
经检验，满足题意，
即方程的解是；
（2）解：由二根式有意义的条件得到，
解得，
即的取值范围是，x的最大值是10，x的最小值是2；
故答案为：，10，2
（3）
题型2勾股定理中的新定义题
题型2
1．我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形．
(1)若三边长分别是2，和4，则此三角形______常态三角形（填“是或“不是”）；
(2)在中，，，若是常态三角形，则______．
(3)如图，在中，，，点D在线段上，连接且，若是常态三角形，求的面积．
【详解】（1）解：∵，
∴三边长分别是2，和4，则此三角形是常态三角形．
故答案为：是；
（2）∵是常态三角形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（3）解：当时，
∵，
∴，
在中，，
此时，
当时，
∵，
∴，
在Rt△ABC中，，
此时，
故的面积为或．
2．定义：如果三角形中，两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么这个三角形叫“