矩阵可逆的若干判定方法分析
摘要:矩阵是代数学中的一个极其重要并且应用广泛的概念，其中可逆矩阵在矩阵的理论和应用中有着重要的地位，它已成为代数领域的主要研究对象。本文在前人研究的基础上继续探索矩阵的可逆性，达到对同一个矩阵用多种方法去判断它的可逆性，或者选择最简单快捷的方法去判断它的可逆性。本文给出了对角矩阵法、向量组秩法、矩阵分块判别法、行(列)最简形矩阵判别法、特征多项式法及矩阵秩法等11种判别法.
关键词:矩阵;可逆;判定方法
目录
TOC\o1-2\h\u133420前言 1
232511.预备知识 1
274251.1伴随矩阵的定义 1
37461.2行列式定义 2
168501.3奇异矩阵与非奇异矩阵 2
159641.4矩阵的秩 2
309421.5特征多项式 2
86101.6哈密顿凯莱定理 2
93241.7严格对角占优矩阵 3
212441.8特征值性质 3
225131.9可逆矩阵和伴随矩阵的性质 3
140371.10行最简形矩阵 3
127511.11列最简形矩阵 3
59192.矩阵可逆的判定方法 3
196812.1定义法 3
3102.2矩阵秩法 4
39292.3特征多项式法 6
81252.4矩阵分块判别法 7
188442.5对角矩阵法 10
226672.6线性方程组法 11
279122.7行列式性质法 12
304382.8特征值法 14
86362.9初等变换法 14
114162.10行或列最简形矩阵法 17
317132.11向量组的秩法 18
185913结语 19
21512参考文献 19
0前言
矩阵理论不仅是高等代数中的重要内容,也是处理矩阵论中的逆矩阵问题的重要数学内容之一。在高等代数的学习过程中，我们知道了可逆矩阵是矩阵理论的一个主要组成部分，但是高等代数教材中只是从理论层面阐述了求逆矩阵的方法，并且方法单一.然而，要掌握好逆矩阵的学习方法，不仅要掌握逆矩阵的基础知识和解法，还要灵活运用逆矩阵以外的知识，把各部分的内容融会贯通，使之建立新的联系，尝试用最简便的方法和多种途径去解决同一个问题.此外，随着科学的发展，逆矩阵的应用更加广泛，已经超出了数学的范围，教材中的方法已经不能满足现实生活中的需要，例如:逆矩阵在计算机图形学、人工智能、通讯优化、航天中都有很多应用，所以逆矩阵的判定方法也在不断完善，更加重视理论知识与社会实践相结合，因此这些方面也体现了逆矩阵的重要性.本文着重于对逆矩阵基本内容的学习和对矩阵可逆的若干判定方法的研究，重视求逆矩阵方法的选择，针对性强，例题难度适中，解法形式多样，由此来体现逆矩阵的求解方法除了课本中介绍的以外还有行列式判别法和矩阵秩法，体现逆矩阵在解决矩阵问题中起着不可替代的作用，所以，对逆矩阵的研究不能只停留在概念及结论的层面，有必要对逆矩阵做进一步的理解和认识，从而掌握可逆矩阵的本质.
1.预备知识
1.1伴随矩阵的定义设是矩阵
中元素的代数余子式，矩阵
称为的伴随矩阵.
1.2行列式定义把阶矩阵
的唯一阶子式叫做矩阵的行列式，记作.
1.3奇异矩阵与非奇异矩阵
奇异矩阵一个阶矩阵的阶子式的行列式.
非奇异矩阵一个阶矩阵的阶子式的行列式.
1.4矩阵的秩矩阵中不等于零的子式的最大阶数，记为秩或.
1.5特征多项式[1]设是数域上一个阶矩阵，，则行列式
称为的特征多项式.
1.6哈密顿凯莱定理设是数域上一个矩阵，是的特征多项式，则.
1.7严格对角占优矩阵设
，如果，，
则称为严格对角占优阵.
1.8特征值性质设阶方阵的特征值为，则有，
1.9可逆矩阵和伴随矩阵的性质
=1\*GB3①若可逆矩阵为阶数相同的方阵，则可逆，即
=2\*GB3②若可逆，则也可逆，且
=3\*GB3③若可逆，数，则可逆，且
=4\*GB3④若可逆，则亦可逆，且.
=5\*GB3⑤伴随矩阵的等于个该矩阵的相乘，即
1.10行最简形矩阵在一个矩阵中，除零行外的其它行的第一个不为0的元素是1，并且这些1所对应的列上其它元素是
1.11列最简形矩阵在一个矩阵中，除零列外的其它列的第一个不为0的元素是1，并且这些1所在的列的其它元素是
2.矩阵可逆的判定方法
2.1定义法
若存在矩阵使得()，则阶矩阵可逆.
证明设为阶非奇异方阵.是阶单位方阵，因为，记表示的第行元素，表示的第行元素，所以可以写成
=也就是.
通过观察，我们可以知道，即为我们需要求解的未知向量，而为已知的向量.并且则