第五节第十一章
对坐标的曲面积分
一、有向曲面及曲面元素的投影
二、对坐标的曲面积分的概念与性质
三、对坐标的曲面积分的计算法
四、两类曲面积分的联系
一、有向曲面及曲面元素的投影
双侧曲面
?曲面分类曲面分内侧和
单侧曲面外侧
莫比乌斯带曲面分左侧和曲面分上侧和
右侧下侧
(单侧曲面的典型)
?指定了侧的曲面叫有向曲面,其方向用法向量指向
表示:
方向余弦封闭曲面
为前侧为右侧为上侧外侧
侧的规定000
0为后侧0为左侧0为下侧内侧
?设?为有向曲面,其面元在xOy面上的投影记为
的面积为则规定
类似可规定
二、对坐标的曲面积分的概念与性质
1.定义：设?为光滑的有向曲面,在?上定义的向量
值函数若对?的任
意分割和在局部面元上任意取点,下列极限都存在相等
则称此极限为A在有向曲面上对坐标的曲面积分，或
第二类曲面积分.记作
P,Q,R叫做被积函数;?叫做积分曲面.
称为P在有向曲面?上对y,z的曲面积分;
称为Q在有向曲面?上对z,x的曲面积分;
称为R在有向曲面?上对x,y的曲面积分.
若记?正侧的单位法向量为
令
则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式
2.性质
(1)若之间无公共内点,则
(2)用?ˉ表示?的反向曲面,则
三、对坐标的曲面积分的计算法
定理:设光滑曲面取上侧,
是?上的连续函数,则
证:
∵?取上侧,
说明:如果积分曲面?取下侧,则
?若则有
(前正后负)
?若则有
(右正左负)
例1.计算曲面积分其中?为球面
外侧在第一和第八卦限部分.
思考:下述解法是否正确:
根据对称性
解:把?分为上下两部分
四、两类曲面积分的联系
曲面的方向用法向量的方向余弦刻画
令
向量形式
(A在n上的投影)
例2.设是其外法线与z轴正向
夹成的锐角,计算
解:
例3.计算曲面积分其中?
旋转抛物面介于平面z=0
及z=2之间部分的下侧.
解:利用两类曲面积分的联系,有
∴原式=
原式=
∴原式=
内容小结
1.两类曲面积分及其联系
定义:
?
?
性质:
联系:
2.常用计算公式及方法
第一类(对面积)转化
曲面积分二重积分
第二类(对坐标)
(1)统一积分变量代入曲面方程
(方程不同时分片积分)
第一类：面积投影
(2)积分元素投影
第二类：有向投影
(3)确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面
当时，
（上侧取“+”,下侧取“?”)