1微分的定义微分的几何意义微分公式与运算法则§2.5函数的微分第二章导数与微分(differential)微分在近似计算中的应用
2导数微分导数与微分表示函数在一点处由自变量所引起的函数变化的快慢程度.是函数在一点处由于自变量微小变化所引起的改变量的近似值.有着密切的联系.
3正方形金属薄片受热后面积的改变量.1.问题的引出实例线性函数(linearfunction)一、微分的定义的线性(一次)函数,很小时可忽略.的高阶无穷小,
4再如,既容易计算又是较好的近似值
5?一定条件,线性函数,对一般函数则无论在理论分析上还是在实际则函数的增量可以表示为如果存在这样的近似公式,应用中都是十分重要的.),(xfy==D-DxAy
6定义2.微分的定义如果则称函数可微(differentiable),A为微分系数记作微分(differential),并称为函数)(xoxAD+D.
7定理证(1)必要性3.可微的充分必要条件即有满足什么条件的函数是可微的呢？微分的系数A如何确定呢?微分与导数有何关系呢?下面的定理回答了这些问题.
8(2)充分性求导法又叫微分法从而其微分一定是定理即有)0,0(??Dax
9注第一章第七节定理1(58页)微分的实质线性函数,线性主部.主部,所以在条件下,0)(01￠xf
10的条件下,近似代替增量其误差为因此,有精确度较好的近似等式结论在0)(01￠xf
11称为函数的微分,记作称为自变量的微分,记作注,)()2(的微分在任意点函数xxfy=什么意思？解例如：
12自变量的增量就是自变量的微分：函数的微分可以写成:上例表明:即函数f(x)在点x处的导数等于函数的微分dy与自变量的微分dx的商,故导数也称为微商.
13例解
14几何意义(如图)二、微分的几何意义对应的增量,增量时;是曲线的纵坐标就是切线纵坐标
15几何上,函数y=f(x)在点x处的微分表示为:相应于自变量x的改变量?x,曲线y=f(x)在点P(x,y)的切线上纵坐标的改变量.
16三、微分公式与运算法则1.微分的基本公式可微??可导微分的基本公式与导数的基本公式相似微分公式一目了然,不必讲了.
17基本求法1.基本微分公式
182.运算法则
19例解例解
20结论一阶微分形式的不变性3.复合函数的微分法此结论用于求复合函数的导数,有时能简化运算.无论x是自变量还是中间变量,函数的微分形式总是
21例解法一用复合函数求导公式法二用微分形式不变性在计算中也可以不写中间变量,直接利用微分形式不变性.
22例例解
23例解在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.说明:上述微分的反问题是不定积分要研究的内容.
24数学中的反问题往往出现多值性,
例如:
25例解法一把作为一个整体,关于有求导,法二把导数看作微分之商,分子,分母分别求微分,有用了微分形式不变性.
26例解求解:例设
27由导数的“微商”及一阶微分形式不变性,再来看反函数、参数方程、复合函数等的求导公式就会有另一种感觉：注：哈哈！这一下复合函数、反函数、参数方程等的求导公式就好理解了.
28例解四、微分在近似计算中的应用1.计算函数增量的近似值,很小时且xD
292.计算函数的近似值曲线的切线的表达式.通常称为函数的一次近似或线性近似.附近的近似值在点求0)()1(xxxf=
30例解
31
32的近似值.解:设取则练习.求
33常用的几个一次近似式2.计算函数的近似值;111)1(xnx+?+
34证例解由公式=)(xf设;111)1(xnx+?+
35例解(1)(2)xnx111+?+
36定义由于测量仪器的精度、条件和方法等各种因素的影响,测得的数据往往带有误差,带有误差的数据计算所得的结果也会有误差,把它叫做间接测量误差.的绝对误差.的相对误差.3.误差估计（自学）而根据那末叫做叫做,A如果某个量的精度值为,a它的近似值为的比值而绝对误差与A
37问题在实际工作中,绝对误差与相对误差无法求得办法将误差确定在某一个范围内.即绝对误差限,的相对误差限.?
38根据直接测量的x值按公式计算y值时,如果已知测量x的绝对误差限是即那么,y的绝对误差即y的绝对误差(限)约为即y的相对误差(限)约为一般,.||xyyyydd×￠=
39微分概念微分的基本思想微分的几何意义微分公式与运算法则五、小结导数与微分的关系就是切线纵坐标对应的增量熟记微分公式、用一阶微分形式不变性求微分以直代曲
40微