函数的极值条件
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我们处理的各种优化问题可以大致分为两类：有约束的优化问题
和无约束的优化问题。工程优化问题往往都是有约束的，但经过适当的
处理可以用无约朿的优化方法加以解决。因此无约朿极值点存在的条
件是优化理论的基本问题。
关键字：无约束有约束优化
求解无约束优化问题的实质是求解目标函数f(x)在n维空间屮的
极值。我们先来看看一元函数的极值条件。
1无约束优化问题的极值条件
1.1一元函数的极值条件
由高等数学可知，任何一个单值、连续、可微的一元函数f(x)在
给定区间内某点兀疋有极值的必要条件，是它在该点处的一阶导数
广(疋)0
即函数的极值必须在驻点处取得。此条件是必要的，但不是充分的,
也就是说驻点不一定就是极值点。如图所示，x=0是驻点，但
图1.1-1
其中图a中的疋点是极小值点，而图b中的疋并不是极值点。驻点是
否为极值点，还需要函数在该点的二阶导数来判断。
驻点为极小值点的充分条件是，疋满足不等式：
f（xj0
驻点为极大值点的充分条件是，疋满足不等式：
厂（疋）0
若：
/〃（疋）0
则疋是否为极值点，还需要逐次检验其更高阶导数的符号。开始不为零
的导数阶数为偶数，则为极值点；若为奇次，则为拐点，而不是极值点。
1.2二元函数的极值条件
对于二维无约束优化问题，即对二元函数
f(x)=f(%i,X)
2
来说，若在X*(竝，龙)处取得极值，其必要条件是:
))
Ofg,X2_df(X\,%2,_c
dxdx心珀_u
rr
Ofgx)_df(x^x\
22
H_了二\x=x^-u
dx2dx
22
写成梯度形式可得:
恥)气迫吟fo
dxdx
r2
为推得二元函数极值存在的充分条件，将二元函数f(x)在驻点
疋［对，对卩作泰勒二次近似展开，得到近似表达式为:
1
rT2
f(x)=f(x*)+[Vf(x*)](x—%*)+-(%—x*)Vf(x*)(x—%*)