*说明简便的方法.例8函数有些什么奇点,如果是极点,指出它的级.解函数的奇点是使的点,这些奇点是孤立奇点.的一级极点.即此定理为判断函数的极点提供了一个较为*解解析且所以不是二级极点,而是一级极点.是的几级极点?思考例9问是的二级极点吗?注:不能以函数的表面形式作出结论.例10．求下列函数孤立奇点的类型，指出极点级数解：z=1和-1为函数f2(z)的奇点，取和，z=1和-1分别为f2(z)的二级极点和二级极点。有时将函数展开成Laurent级数,求系数C-1很麻烦.这就需要介绍一种求C-1的新方法：用留数计算积分的方法.从上一章可以看出,利用将函数f(z)在其解析的环域R1|z-z0|R2内展开成Laurent级数的方法,根据该级数的系数的积分表达式可以计算右端的积分.这类积分非常广泛,其中C是该环域内围绕点z0的正向简单闭曲线.C的内部可能有f(z)的有限个或无穷多个奇点.*例计算积分解：先分析函数的解析性。显然它的奇点值满足的，其奇点构成了实轴上的区间，因此它在环域内解析。于是令，利用得它在环域内的Laurent级数的展开式于是取，得其积分值第五章留数及其应用5-1函数的孤立奇点及其分类单击此处添加小标题5-2留数和留数定理单击此处添加小标题5-3留数在定积分计算中的应用单击此处添加小标题5-4*对数留数与幅角原理单击此处添加小标题*5-1函数的孤立奇点及其分类添加标题一Δ、函数孤立奇点的概念及其分类添加标题函数各类孤立奇点的充要条件添加标题用函数的零点判断极点的类型添加标题四*、函数在无穷远点的性态内处处解析,则称为的孤立奇点.是函数的孤立奇点.是函数的孤立奇点.立奇点.函数孤立奇点的概念及其分类01例1定义如果函数02注:孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤在不解析,但03的某一去心邻域在*例2指出函数在点的奇点特性.解即在的不论怎样小的去心邻域内,的奇点存在,函数的奇点为总有不是孤立奇点.所以例3指出函数的孤立奇点解：z=0是函数f(z)的奇点,zk=2/[(2k+1)π](k为整数)是它的孤立奇点.由于当时，，因此,z=0是它的奇点而不是孤立奇点.另外,f(z)在环域内解析，是它的孤立奇点.*讨论函数在孤立奇点的情况其中,C为该去心邻域内围绕点z0的任一条正向简单闭路。的孤立奇点，02下面根据cn的不同情况,对孤立奇点分类：设为01可以展开成Laurent级数:则在去心邻域03*定义若级数中含(z-z0)的负幂项的项数分别为零个,有限个,无穷多个,则分别称z0为f(z)的可去奇点、极点和本性奇点.且当z0为极点时若级数中负幂的系数则称z0为它的m级极点,一级极点又称为简单极点.根据展开式可能出现的不同情况，将f(z)的孤立奇点作如下分类：*1可去奇点如果Laurent级数中不含的负幂项,则称孤立奇点称为的可去奇点.定义其和函数在处解析.二、函数各类孤立奇点的充要条件*无论在是否有定义,可补充定义则函数在解析.反过来，若在解析，且存在，则必是的可去奇点。事实上：存在，由在的某邻域有界。*这样得到下面的结论：即*由定义判断:的Laurent级数无负在如果幂项,由极限判断：若极限存在且为有限值,则为的可去奇点.则为的可去奇点的充要条件为为的可去奇点.则注：函数f(z)的可去奇点z0看作它的解析点,且规定*如果补充定义:时,那末在解析.例4中不含负幂项,是的可去奇点.*例5说明为的可去奇点.解所以为的可去奇点.无负幂项另解的可去奇点.为*2极点其中关于的最高幂为即级极点.那么孤立奇点称为函数的定义如果Laurent级数中只有有限多个的负幂项,*由极点的定义则*注意到:例6由此得：有理分式函数为函数是二级极点,的极点的