题型四函数的实际应用2025湖北数学

1.(2023菏泽)某学校为美化学校环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙(墙足够长)的矩形花园，用一道篱笆把花园分为A，B两块(如图所示)，花园里种满牡丹和芍药.学校已定购篱笆120米.(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；类型一面积问题?

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(2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹和芍药，每平方米种植2株，已知牡丹每株售价25元，芍药每株售价15元，学校计划购买费用不超过5万元，求最多可以购买多少株牡丹？(2)设种植牡丹的面积为a平方米，则种植芍药的面积为(1200－a)平方米，由题意可得25×2a＋15×2(1200－a)≤50000，解得a≤700，即牡丹最多种植700平方米，700×2＝1400(株)，答：最多可以购买1400株牡丹.

2.(2024随州模拟)春回大地，万物复苏，又是一年花季到.某花圃基地计划将如图所示的一块长40m，宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域.其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉.活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m.A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元.(1)设育苗区的边长为xm，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是m2，花卉B的种植面积是m2，花卉C的种植面积是m2.(x2－60x＋800)(－x2＋30x)(－x2＋20x)

的面积为(40－x)(20－x)＝(x2－60x＋800)m2，花卉B的面积为x(40－x－10)＝(－x2＋30x)m2，花卉C的面积为x(20－x)＝(－x2＋20x)m2.【解法提示】∵育苗区的边长为xm，活动区的边长为10m，∴花卉A

(2)育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？(2)∵A，B花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元，∴A，B两种花卉的总产值分别为2(x2－60x＋800)百元和3(－x2＋30x)百元.∵A，B两种花卉的总产值相等，∴200(x2－60x＋800)＝300(－x2＋30x)，∴x2－42x＋320＝0，解得x＝32(舍去)或x＝10，∴当育苗区的边长为10m时，A，B两种花卉的总产值相等；

(3)∵花卉A与B的种植面积之和为：x2－60x＋800＋(－x2＋30x)＝(－30x＋800)m2，∴－30x＋800≤560，∴x≥8.∵设A，B，C三种花卉的总产值之和为y百元，∴y＝2(x2－60x＋800)＋3(－x2＋30x)＋4(－x2＋20x)，∴y＝－5x2＋50x＋1600，(3)若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值.

∴y＝－5(x－5)2＋1725，∴当x≥8时，y随x的增加而减小，∴当x＝8时，y最大，且y＝－5×(8－5)2＋1725＝1680(百元)，故A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值为168000元.

3.某开发商计划对某商业街一面8米×8米的正方形墙面ABCD进行装修，如图，正方形四周由八个全等的矩形拼接而成，中心区是正方形MNPQ，若用甲类材料装修八个全等的矩形，每平方米550元；用乙类材料装修正方形MNPQ，每平方米500元.设小矩形的较短边AE的长为x米，装修材料的总费用为y元.(1)求总费用y关于x的函数解析式；解：(1)根据题意得AD＝AB＝8，AE＝EF＝x，DF＝FN＝8－2x，四周是八个全等的矩形，∴MN＝8－4x，

(2)开发商打算花费34400元全部用来购买甲、乙两类材料，求甲类材料中矩形的长和宽；(2)在y＝－800x2＋3200x＋32000中，令y＝34400，得－800x2＋3200x＋32000＝34400，解得x＝1或x＝3(此时MN为负数，舍去)，∴8－2x＝8－2×1＝6(米)，答：甲类材料中矩形的长是6米，宽是1米；∴y＝550×8x(8－2x)＋500(8－4x)2＝－800x2＋3200x＋32000，∴y关于x的函数解析式为y＝－800x2＋3200x＋32000；

?(3)在(2)的花费前提下，设计正方形MNPQ作为广告区域，其边长不小于2米时，开发商的费用是否够？请结合函数增减性说明理由.

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4.科研人员计划利用现有墙体(墙体足够长)，在试验基地中用总长为240m的围栏围出家畜养殖区和家禽养殖区(边界靠墙部分不需要围栏)，要求家畜养殖区的面积是家禽养殖区的2倍，两个养殖区均为矩形，且两区用围栏隔开，科研人员实地考察后，设计了两种方案：方案