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导数及其应用
目录
【解密高考】总结常考点及应对的策略，精选名校模拟题，讲解通关策略（含押题型）
【题型一】切线问题
【题型二】极值与极值点
【题型三】含参讨论单调性
【题型四】恒成立求参
【题型五】能成立求参
【题型六】零点问题
【题型七】隐零点问题
【题型八】构造函数求参
【题型九】多变量问题
【误区点拨】
易错点1：①除法求导要注意分子是相减，分母带平方；
②复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数,即．
易错点2：使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，还需要对这些点左右两侧导函数的符号进行判断
：导数在新结构试卷中的考察重点偏向于小题，原属于导数的压轴题有所改变，但导数在高考中的考察依然属于重点，题型很多，结合的内容也偏多，比如常出现的比较大小和恒成立问题等都结合着构造函数的思想.
：在处理含对数的等式、不等式时，通常要将对数型的函数“独立分离”出来，这样再对新函数求导时，就不含对数了，从而避免了多次求导.这种让对数“孤军奋战”的变形过程，俗称之为“对数单身狗”.
【题型一】切线问题
【例1】已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求过点且与曲线相切的直线的切点坐标.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；
（2）设切点坐标为，利用导数的几何意义求出切线方程，将点的坐标代入切线方程，求出的值，即可得出所求切点的坐标.
【详解】（1）因为，求导得，故，
因此，曲线在点处的切线方程为，即.
（2）设切点坐标为，则曲线在点处的切线的斜率为，
故所求切线方程为，
将点的坐标代入切线方程得，
整理可得，即，解得或，
故所求切点的坐标为或.
【例2】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则
【答案】2
【分析】设出两切点和点，求导，利用导数几何意义得到，表达出上点处的切线方程，代入点坐标，得到方程，联立得到，，求出.
【详解】设上点处的切线和在点处的切线相同，
，，
故，故，
上点处的切线方程为，
显然在切线上，故，
即，即，
解得，
故.
故答案为：2
【变式1】已知曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为（????）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】求，利用导数的几何意义可求的值.
【详解】由题意得，函数的定义域为，且，
∴，
∵曲线在点处的切线与直线垂直，
∴，即，故.
故选：D.
【变式2】过原点且与曲线相切的直线有（????）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【分析】先求出导函数，再设切点，根据导函数得出切线斜率再应用两点求斜率计算求参进而得出切线即可.
【详解】设切点，因为曲线，所以，
所以，所以，
所以或，
当时，所以，所以切线方程为，即；
当时，所以，所以切线方程为，即；
当时，所以，所以切线方程为，即；
所以切线有3条.
故选：C.
【变式3】过定点作曲线的切线，恰有2条，求实数的取值范围.
【答案】
【分析】设出切点，根据点斜式求解直线方程，构造函数，利用导数求解单调性，结合函数图象即可求解.
【详解】由，得，切点为，则切线的斜率为，
所以切线方程为，
因为，所以，
因为点在切线上，
所以，得，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以在处取得极小值，
当时，，当时，，
由题意可得直线与函数的图象有两个交点，
所以，解得，所以实数a的取值范围为，
【题型二】极值与极值点
【例1】设三次函数的导函数为，函数图象的一部分如图所示，则下列说法正确的个数为（???）
①函数有极大值
②函数有极小值
③函数有极大值
④函数有极小值
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】结合图象先判断的正负性，即可得出的增减性，进而得出极值.
【详解】由题图知，当时，，则；
当时，，则；
当时，，则；
当时，，则，
则在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
则的极大值是，极小值是，①④正确，
故选：B
【例2】已知函数在处取得极值.
(1)求的值；
(2)当时，求曲线在处的切线方程；
(3)当时，求曲线的极值.
【答案】(1)
(2)
(3)极大值为，极小值为-2.
【分析】（1）利用导函数的零点结合极值点的定义计算验证即可；
（2）利用导数的几何意义计算即可；
（3）利用导数研究函数的单调性，结合极值的概念列表计算即可.
【详解】（1），
由题意知，所以，即
当时，，
故在单调递增，单调递减，
故在处取得极值.
故；
（2）由（1）可知.
当时，，
所以，
所以在处的切线方程为，即；
（3）由（1）（2）可知，，
令，得或
1
+
0
-
0
+
单调递增
单