高阶线性微分方程的解法分析
目录
471 1TOC\o1-3\h\u
201661引言 3
35862高阶线性微分方程的有关概念及定理 4
306282.1高阶线性微分方程的概念及解的存在唯一性 4
267342.2高阶齐次线性微分方程通解结构 4
250722.3高阶非齐次线性微分方程通解结构 5
212453几类高阶线性微分方程的对应解法 6
254803.1高阶齐次线性微分方程的解法 6
208643.1.1特征根法 6
22403.2高阶非齐次线性微分方程的解法 7
326903.2.1常数变易法 7
92743.2.2比较系数法 9
154193.2.3拉普拉斯变换法 9
159623.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法 10
22483.3.1两种可降阶的高阶微分方程 10
270243.3.2幂级数解法 12
122093.4高阶线性微分方程的其它解法 13
270924高阶线性微分方程的一些应用 14
10334.1物体运动规律 14
207334.2电路中的应用 14
304864.3列车制动问题 15
324794.4第二宇宙速度 16
221325结论 18
24695参考文献 20
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摘要：在微分方程的理论中，高阶线性微分方程占据了重要的位置，它在物理、力学和工程技术、自然科学中都有着广泛的应用，而求解高阶线性微分方程是学习微分方程的重点.本文主要研究了常用的几类高阶线性微分方程的求解方法，并通过实例加以说明.首先，给出了高阶线性微分方程的有关概念、通解的结构及解的存在唯一性定理.以此为基础给出了特殊的几种高阶线性微分方程的解法，包括：特征根法、常数变易法、比较系数法、拉普拉斯变换法以及幂级数解法，并且还给出了一个新的解法升阶法.最后，介绍了高阶线性微分方程是如何在实际生活中应用的，例如：物体运动规律、电路中的应用、第二宇宙速度.
关键词：基本概念；通解结构；常见解法；实际应用
1引言
目前，高阶线性微分方程在自然科学和社会科学领域有着广泛的应用.并且随着高阶线性微分方程解法的一步步完善，我们在现实生活中也越来越多的使用它.例如在质点运动、物体运动规律、第二宇宙速度的计算这些问题上都可以将其转化成求高阶线性微分方程的解，或者转化成研究解的性质的问题[2].虽然，应用高阶线性微分方程解决生活中的问题目前确实取得了巨大的成就，但他现在发现的正确理论并不能解决现实生活中的所有需求，因此，研究高阶线性微分方程不仅具有学术意义，更对现实生活中的应用具有推动作用.目前，人们已经研究出了不同类型高阶线性微分方程的相对应解法.比如幂级数法、拉普拉斯变换法、算子解法、比较系数法等[15].方程的求解是学习高阶线性微分方程的基础，在学习高阶线性微分方程理论时，不同类型的方程我们会使用相对应的解法，那么，能否有一种统一的方法来解决各种不同类型的高阶线性微分方程？从高阶线性微分方程被发现以来，数学家们就一直没有停止过研究[1].直至目前，对于不同类型的高阶线性微分方程还没有找到普遍的、通用的解法.因此，我们只能根据具体的问题来进行具体的分析.
本文描述的主要内容是研究几类高阶线性微分方程的解法及其应用.为了更加全面的了解高阶线性微分方程的解法及其应用，本文主要从以下三个部分进行研究，第一，介绍了高阶线性微分方程的概念、通解结构及解的存在唯一性.第二，研究了常见的几类高阶线性微分方程的解法并给出相应的例题，文中还特别介绍了新的解法.讨论的主要类型有：高阶齐次线性微分方程、高阶非齐次线性微分方程[5].最后，本文主要研究了高阶线性微分方程在生活中的一些实际应用问题.
总的来说，本文讨论了高阶线性微分方程的几类解法，通过本文我们可以知道常见高阶线性微分方程如何求解.为了加深人们对于高阶线性微分方程的解法应用，本文也给出了相应的实际生活问题如何用高阶线性微分方程来进行求解.
2高阶线性微分方程的有关概念及定理
本节简单介绍了高阶线性微分方程的有关概念，解的存在性定理以及通解结构.
2.1高阶线性微分方程的概念及解的存在唯一性
高阶线性微分方程也和一阶方程一样，高阶线性微分方程也有着是否有解和是否存在唯一的解的问题.因此，为了讨论高阶线性微分方程的解法，将给出高阶线性微分方程的解的存在唯一性定理[1].
如果方程
（2.1）
的系数及其右端函数在区间上有定义且连续，且对上任一