1.4充分、必要的条件
【考点1：充分条件的判断及性质】
【考点2：必要条件的判断及性质】
【考点3：判断命题的充分不必要和必要不充分的条件】
【考点4：利用充分条件、必要条件求参数范围】
【考点5：充分性和必要性的证明】
【考点6：充要条件的证明】
知识点1：充分条件与必要条件
“若p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p?q
p?q
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
定理关系
判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件
性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件
【注意】
（1）前提p?q，有方向，条件在前，结论在后；
（2）p是q的充分条件或q是p的必要条件；
（3）改变说法：“p是q的充分条件”还可以换成q的一个充分条件是p；
“q是p的必要条件”还可以换成“p的一个必要条件是q”．
知识点2：充分必要条件与集合的关系
若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
则由A?B可得，p是q的充分条件，
①若AB，则p是q的充分不必要条件；
②若A?B，则p是q的必要条件；
③若AB，则p是q的必要不充分条件；
④若A＝B，则p是q的充要条件；
⑤若A?B且A?B，则p是q的既不充分也不必要条件．
充分必要条件判断精髓：
小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；
若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；
【考点1：充分条件的判断及性质】
【典例1】多选题使x4成立的一个充分条件是（?????）
A．x5 B．x6
C．x3 D．x3
【答案】AB
【分析】根据充分条件的定义及集合间的关系判定即可.
【详解】根据充分条件的定义可知x5?x4，x6?x4，即A、B正确；
而x3不能推出x4，x3更不能推出x4，故C、D错误.
故选：AB.
【变式1-1】使不等式-5x+3≥0成立的一个充分条件是（????）
A．x0 B．x≥0 C．x≤1 D．x1
【答案】A
【分析】先解出不等式，然后根据充分条件的定义求解即可.
【详解】由-5x+3≥0，即x≤3
因为xx0
所以使不等式-5x+3≥0成立的一个充分条件是x0，
而其他选项皆不满足.
故选：A.
【变式1-2】多选题a2
A．ab B．a
C．ab D．ab0
【答案】BD
【分析】逐个分析或者举出反例即可.
【详解】对于A：当a=1,b=2时，满足ab，此时a2
所以ab不是a2
对于B：ab，则ab≥0
所以ab是a
对于C：当a=-1,b=-2时，满足ab，此时a2
所以ab不是a2
对于D：ab0，则-a-b0，所以-a2-b
所以ab0是a2
故选：BD
【变式1-3】若不等式-axa的一个充分条件为0x1，则实数a的取值范围是（????）
A．0a≤1 B．0a1 C．a≥1 D．a1
【答案】C
【分析】将充分条件转化为集合间的关系，根据集合的包含关系即可求解.
【详解】由题意可得x0x1
所以-a≤0且a≥1，解得a≥1，
故选：C
【考点2：必要条件的判断及性质】
【典例2】多选题下列条件中，是“x-1”成立的必要条件的是（?????）
A．0,+∞ B．-1,+∞ C．-2,+∞
【答案】BCD
【分析】根据必要条件的定义求解.
【详解】“x-1”成立的必要条件即不能比x-1范围小，
观察选项，BCD符合，
故选：BCD.
【变式2-1】使不等式-4≤x+1≤4成立的一个必要条件是（????）
A．2≤x≤3 B．-6≤x≤3 C．-5≤x≤2 D．-6≤x≤2
【答案】B
【分析】不等式变形得出其充要条件，然后根据必要条件的定义判断．
【详解】-4≤x+1≤4?-5≤x≤3，
因此只有B是其必要条件．
故选：B．
【变式2-2】多选题使x2成立的一个必要条件是（????）
A．x0 B．x1 C．x3 D．x4
【答案】AB
【分析】根据必要条件的基本概念逐项判断即可得到答案.
【详解】对于选项A，由x0不能推出x2，由x2可以推出x0，
所以x0是x2的必要条件.
对于选项B，由x1不能推出x2，由x2可以推出x1，
所以x1是x2的必要条件.
对于选项C，由x3能推出x2，由x2不能推出x3，
所以x3是x2的充分条件.
对于选项D，由x4能推出x2，由x2不能推出x4，
所以x4是x2的充分条件.
故选：AB.
【考点3：判断命题的充分不必要和必要不充分的条件】
【典例3】若集合A=1,m2，B=3,9，则“m=3”是“A∩B=
A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据集合关系考查充分性及必要性即可求解.
【详解】
若m=3，则A