1.4空间向量的应用
题型汇总
题型1：空间中点、线、面的向量表示
例1.1．若在直线l上，则直线l的一个方向向量为（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得首先求出直线上的一个向量，即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线（平行）的坐标表示即可得出答案．
【详解】由已知得，
故选项A中的向量与共线，是直线的一个方向向量．
故选：A.
【点睛】本题主要考查直线的方向向量，以及向量共线（平行）的坐标表示，是基础题．
【变式1-1】若两个向量,则平面的一个法向量为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设平面ABC的法向量为，根据数量积等于0，列出方程组，即可求解.
【详解】设平面ABC的法向量为，
则，即，令，则，
即平面ABC的一个法向量为，故选A.
【点睛】本题主要考查了平面的法向量的求解，其中解答中根据法向量与平面内的两个不共线的向量垂直，列出关于的方程组求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
【变式1-2】如图1.4-7在长方体中，，，，M是的中点．以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）求平面当的法向量；
（2）求平面的法向量．
分析：（1）平面与y轴垂直，其法向量可以直接写出；（2）平面可以看成由，，中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算求得法向量．
解：（1）因为y轴垂直于平面，所以是平面的一个法向量．
因为，，，M是的中点，所以M，C，的坐标分别为，，．
因此，．设是平面的法向量
则，．
所以，所以
取，则，．于是是平面的一个法向量．
【变式1-3】在长方体中，，，．以D为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系Oxyz，求平面的一个法向量．
【答案】（答案不唯一）
【分析】求得坐标，设出法向量，根据即可求解.
【详解】由题可得，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
则平面的一个法向量为.
题型2：空间中直线、平面的平行
例2.的方向向量为，的方向向量，若，则等于（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，得出，利用空间共线向量的坐标表示可求出实数的值.
【详解】，，则，因此，.
故选：B.
【点睛】本题考查利用直线的方向向量处理两直线平行的问题，考查化归与转化思想的应用，属于基础题.
【变式2-1】倒3如图，在长方体中，，，．线段上是否存在点P，使得平面？
分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量，，以及平面的法向量等都可以用坐标表示，如果点P存在，那么就有，由此通过向量的坐标运算可得结果．
解：以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图1.4-12所示的空间直角坐标系．因为A，C，的坐标分别为，，，所以
，．
设是平面的法向量，则n?AC=0，，即所以
取，则，．所以，是平面的一个法向量．
由，C，的坐标分别为，，，得，．设点P满足，则，所以．
令，得，解得，这样的点P存在．
所以，当，即P为的中点时，平面．
【变式2-2】如图，在正方体中，E，F分别是面，面的中心．求证：平面．
【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量关系即可证明.
【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，则可得，
，，
平面，平面.
【变式2-3】若平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，且α∥β，则y＋z＝.
【答案】－3
【分析】根据向量平行的条件列方程解之可得答案.
【详解】因为α∥β，所以.所以＝＝.所以y＝1，z＝－4.
所以y＋z＝－3.
故答案为：－3.
【变式2-4】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，
求证：（1）FC1∥平面ADE；
（2）平面ADE∥平面B1C1F.
【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求得直线的方向向量以及平面的法向量，计算其数量积即可证明；
（2）计算两个平面的法向量，根据法向量是否平行，即可证明.
【详解】证明：如图，建立空间直角坐标系D-xyz，
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，
E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，
所以=(0，2，1)，=(2，0，0)，=(0，2，1).
（1）设=(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则⊥，⊥，
即得令z1=2，则y1=-1，
所以=(0，-1，2).因为·=-2+2=0，所以.
又因为FC1?平面ADE，所以FC1∥平面ADE.
（2）=(2，0，0).设=(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量.由⊥，⊥