第七章动态规划7.5所有点对的最短路径问题对于一个各边权值均大于0的有n个顶点的带权有向图G=(V,E)，求所有顶点之间的最短路径和最短距离。图的邻接矩阵表示法123V=(b)(a)28196123L=029061∞0其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。初始时，S中仅含有源点。设u是G的某一个顶点，把从源点到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组distance记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组distance作必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，distance就记录了从源到所有其它顶点之间的最短路径长度。复习Dijkstra算法算法中，我们不断更新以下三个数组：s数组:s[i]，当顶点i加入S时，s[i]置1Distance数组:Distance[i]记录原点到顶点i的最短特殊路径长度。path数组：path[i]记录顶点i在其最短特殊路径上的前驱顶点。由该数组可求得原点到各点的最短路径。如：设源点是顶点1,path数组如下 例如，对右图中的有向图，应用Dijkstra算法计算从源顶点1到其它顶点间最短路径的过程列在下页的表中。0141301050306011111s:distance:path:由源点1到顶点5的路径为：1-4-3-5方法一：重复调用Dijkstra算法n次1可轮流以每一个顶点为源点，重复调用狄克斯特拉算法函数Dijkstra()n次，即可求得所有顶点之间的最短路径和最短距离。利用Dijkstra()函数求所有顶点之间的最短路径算法如下。其中，distance[i][j]中存放着从顶点i到顶点j的最短距离，path[i][j]中存放着从顶点i到顶点j的最短路径的前一顶点下标。2voidShortPath(AdjMWGraphG,int**distance,int**path){Intn=G.NumOfVertices();for(inti=0;in;i++)Dijkstra(G,i,distance［i］,path［i］);}由于狄克斯特拉算法的时间复杂度是O(n2)，所以n次调用狄克斯特拉算法的时间复杂度是O(n3)。例如上图中，若路线I和J是A到C的最优路径，则根据最优化原理，路线J必是从B到C的最优路线。该问题具有最优子结构性质01原问题：每个顶点到其他所有顶点的最短距离最小的子问题D0：从顶点i（不得经过任何其他顶点）到顶点j的距离；子问题D1：从顶点i（可以经过顶点1，不得经过其他任何其他顶点）到顶点j的距离。0203子问题的构造子问题Dk：从顶点i（可以经过顶点1、顶点2、……顶点k，不得经过任何其他顶点）到顶点j的距离。子问题Dn：从顶点i（可以经过顶点1、顶点2、……顶点n）到顶点j的距离。——即原问题递推关系的建立由di,jk-1推出di,jk的过程如下若k=0,di,jk=L[i][j](因为从i到j不允许经过任何其他顶点）若1≤k≤n,di,jk=min{di,jk-1,di,kk-1+dk,jk-1}子问题Dk-1：从顶点i（可以经过顶点1、顶点2、……、顶点k-1）到顶点j的距离。子问题Dk：从顶点i（可以经过顶点1、顶点2、……顶点k-1、顶点k）到顶点j的距离。从子问题Dk-1：到子问题Dk，仅仅多考虑了一个顶点k。我们需要重新考虑从i到j的距离：顶点i到顶点j，是不是从k走会更近？如果从顶点i到顶点j从顶点k走更近，则i到j的距离di,jk=i到k的距离di,kk-1+k到j的距离dk,jk-1如果顶点i到顶点j从顶点k走更远，甚至走不通，则保持原来的距离不变di,jk=di,jk-1。由di,jk-1推出di,jk的过程，主要考虑的是顶点k的加入会引起什么变化？由不允许路过顶点k到允许路过顶点k，有些点间的距离是否会变的更近。计算过程例：考虑下图所示的带权有向图，求所有顶点之间的最短距离。V=(b)(a)12328196123L=029061∞012328