(1)（本题满分20分）设为正整数，且，如果对一切实数，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离不小于，求的值.
解因为一元二次方程的两根分别为和，所以二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为.
由题意，，即，即.
由题意知，，且上式对一切实数恒成立，所以
2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第4页（共8页）
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所以或
(2)（本题满分25分）已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根.
解观察易知，方程有一个整数根，将方程的左边分解因式，得
因为是正整数，所以关于的方程
（1）
的判别式，它一定有两个不同的实数根.
而原方程的根都是整数，所以方程（1）的根都是整数，因此它的判别式应该是一个完全平方数.
设（其中为非负整数），则，即
.
2007年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准第5页（共8页）显然与的奇偶性相同，且，而，所以
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或或解得或或
而是正整数，所以只可能或
当时，方程（1）即，它的两根分别为和.此时原方程的三个根为1，和.
当时，方程（1）即，它的两根分别为和.此时原方程的三个根为1，和.
（本题满分25分）设是正整数，二次函数，反比例函数，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求的值.
解联立方程组消去得，即
，分解因式得
（1）
显然是方程（1）的一个根，（1，56）是两个函数的图象的一个交点.
因为是正整数，所以关于的方程
（2）
的判别式，它一定有两个不同的实数根.
而两个函数的图象的交点都是整点，所以方程（2）的根都是整数，因此它的判别式应该是一个完全平方数.
设（其中为非负整数），则，即
.
显然与的奇偶性相同，且，而，所以
或或解得或或
而是正整数，所以只可能或
当时，方程（2）即，它的两根分别为和，此时两个函数的图象还有两个交点和.
当时，方程（2）即，它的两根分别为和，此时两个函数的图象还有两个交点和.