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安徽省合肥市第一中学2025届高三下学期数学素质拓展试卷（四）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（????）
A． B． C． D．
2．已知平面向量满足，且，则（???）
A．2 B． C． D．1
3．四参数方程的拟合函数表达式为，常用于竞争系统和免疫检测，它的图象是一个递增（或递减）的类似指数或对数曲线，或双曲线（如），还可以是一条S形曲线，当，，，时，该拟合函数图象是（????）
A．类似递增的双曲线 B．类似递增的对数曲线
C．类似递减的指数曲线 D．是一条S形曲线
4．已知，且，则（???）
A． B． C． D．
5．在棱长为a的正方体．中，P为AB上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点P到平面的距离（???）
A．和点E，F的位置有关 B．和EF的长度有关
C．和点P的位置有关 D．等于
6．建设“书香校园”成为越来越多学校的办学追求.在对某高中1000名高一年级学生的图书馆借阅量的调查中，已知这1000名高一年级学生中男生有600人，采用分层随机抽样的方法抽取100人，抽取的样本中男生借阅量的平均数和方差分别为5和6，女生借阅量的平均数和方差分别为10和6，则估计该校学生借阅量的总体方差是（???）
A．7 B．8 C．12 D．13
7．已知直线与圆交于两点，若成等差数列，则的最小值为（????）
A． B． C． D．
8．设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法中，正确的命题是（????）
A．在两个随机变量的线性相关关系中，若相关系数越大，则样本的线性相关性越强
B．在具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程中，，则
C．在回归分析中，决定系数的值越大，说明残差平方和越小
D．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则的值分别是和0.3
10．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是（????）
A．若，则直线的斜率为
B．
C．（为坐标原点）
D．当取最小值时，
11．我们常用的数是十进制数，如，计算机用的是二进制数，只需两个数码.如二进制数：.将十进制正整数表示为二进制数，其各位数字之和记为，即：，其中，且，则，如.则以下关于数列的结论正确的有（????）
A．若，则的最大值为 B．
C． D．
三、填空题
12．已知复数，则的虚部为．
13．已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为.
14．从球外一点作球表面的三条不同的切线，切点分别为，，，，若，则球的表面积为.
四、解答题
15．在一个不透明的盒子中装有除颜色外其余完全相同的若干个小球，其中有m个白球，m个黑球，2个黑白相间的球，且从盒子中随机摸出1个球，摸到黑白相间的球的概率为．
(1)从盒子中随机摸出1个球，求在摸出的球上带有黑色的条件下，摸出黑白相间的球的概率；
(2)从盒子中1次随机取出1个球，取出后不放回，共取2次，设取出的黑球数量为X，求X的分布列与期望．
16．已知在中，.
(1)判断的形状，并说明理由；
(2)若，点D在AB边上，且.若，求的面积.
17．如图，在四棱锥中，底面，，为线段的中点，为线段上的动点.
(1)若，平面与平面是否互相垂直？如果垂直,请证明；如果不垂直，请说明理由.
(2)若底面为正方形，当平面与平面夹角为时，求的值.
18．设函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若在区间上单调递增，求的取值范围；
(3)当时，，求的取值范围．
19．已知椭圆的离心率为，点在上．
(1)求的方程；
(2)设椭圆．若过的直线交于另一点交于两点，且在轴上方．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）为坐标原点．为右顶点．设在第一象限内，，是否存在实数使得的面积与的面积相等？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
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《安徽省合肥市第一中学2025届高三下学期数学素质拓展试卷（四）》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
A
C
D
C
C
D
BCD
ABD
题号
11
答案
BD