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2025届湖南省郴州市高三三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则中所有元素和为（????）
A．3 B．5 C．6 D．9
2．已知复数满足，则（）
A． B． C．3 D．1
3．在平面直角坐标系xOy中，已知，，，若，则的值为（???）
A．4 B．2 C． D．
4．已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若，椭圆的离心率为，则椭圆的焦距为（???）
A．1 B．2 C． D．
5．已知，则的值是（???）
A． B． C． D．
6．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，BC边上的高，则（）
A． B． C．8 D．
7．已知函数，若函数在区间的图象上存在两条斜率之积为的切线，则实数的取值范围为（???）
A． B． C． D．
8．定义：在空间直角坐标系中、两点的“网线距离”为.设、、，其中、、均为整数，若满足的点的个数为，则的值为（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．某市为丰富市民的业余生活，春节前举办“迎春杯”歌手大奖赛，比赛分青年组、中年组和老年组.每组由6位专业评委对演唱评分（满分10分），老年组的甲和乙参加比赛得分的折线统计图如下图所示，则下列结论正确的是（）
A．甲得分的中位数大于乙得分的中位数
B．甲得分的极差大于乙得分的极差
C．甲得分的上四分位数小于乙得分的上四分位数
D．甲得分的方差大于乙得分的方差
10．已知定义在上的函数的导数为，若，且，则下列式子中一定成立的是（????）
A． B． C． D．
11．已知正方体的表面积与体积的数值之比为3，，分别是棱BC，的中点，是线段上一个动点，则下列结论正确的是（???）
A．
B．多面体的体积为
C．存在一点，使得
D．若平面PQG，则平面PQG截正方体的截面面积是
三、填空题
12．已知，则.
13．已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围为.
14．已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，且，点在直线：上，过向抛物线引两条切线PQ，PR，切点分别为，，过点引直线QR的垂线，垂足为点，则直线FH的斜率的取值范围是.
四、解答题
15．已知编号为甲、乙、丙的三个袋子中装有除标号外完全相同的小球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球，一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2号球和一个3号球.
(1)从甲袋中一次性摸出2个小球，记随机变量为1号球的个数，求随机变量的分布列和数学期望；
(2)现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙袋，摸出的是3号球放入丙袋；第二次从放入球的袋子中再随机摸出1个球.求第二次摸到的是3号球的概率.
16．已知数列为等差数列，且，.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式；
(3)已知数列满足：，求数列的前项和.
17．已知函数.
(1)当时，求函数的最值；
(2)若函数有两个不同极值点，证明：.
18．如图所示，在圆柱中，矩形为圆柱的轴截面，圆柱过点的母线为，点，为圆上异于点，且在线段AB同侧的两点，且，点为线段的中点，.
(1)求证：平面；
(2)若平面与平面所成夹角的余弦值为，求的大小；
(3)若，平面经过点，且直线与平面所成的角为，过点作平面的垂线（垂足为），求直线AQ与直线所成角的范围.
19．已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线交于，两点，当直线垂直于轴时，的周长为16.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)与轴不重合的直线过点，双曲线上存在两点，关于对称，且AB的中点的横坐标为.
（ⅰ）若，求实数的值；
（ⅱ）若，为双曲线右支上两个不同的点，过点，求的取值范围.
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《2025届湖南省郴州市高三三模数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
A
B
B
A
D
C
ABD
AC
题号
11
答案
BD
1．C
【分析】先求出集合A，再求出，即可求出中所有元素之和.
【详解】因为集合，得，
又集合，所以，
所以中所有元素之和为.
故选：C.
2．D
【分析】