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2025届山西省太原市高三一模考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．计算（????）
A． B． C． D．
2．已知集合，，则（???）
A． B． C． D．
3．已知，，若，则实数（???）
A． B．3 C．6 D．
4．已知，，，则下列结论正确的是（???）
A． B． C． D．
5．已知的三条边长分别为3，4，5，的两个顶点是椭圆的焦点，其另一个顶点在椭圆上，则的离心率的最大值为（???）
A． B． C． D．
6．将函数的图象先向左平移个单位，再向上平移1个单位后，所得的图象经过点，则（???）
A． B． C． D．
7．已知等差数列的前项和为，且，是以1为公差的等差数列，则下列结论正确的是（????）
A． B． C． D．
8．已知函数有三个零点，则实数的取值范围为（???）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知样本数据的平均数为3，方差为3，样本数据的平均数为3，方差为6，则下列结论正确的是（????）
A．数据的平均数为7
B．数据的方差为11
C．数据的平均数为3
D．数据的方差为5
10．已知函数，若，且，则下列结论正确的是（???）
A． B．
C． D．
11．已知动点到点和直线的距离和为5，记其轨迹为曲线．点，是曲线上的两个不同点，点，则下列结论正确的是（???）
A．曲线的方程为
B．对于任意，都存在点，，使得成立
C．当时，若点，关于点对称，则
D．若点，关于点对称，则的取值范围为
三、填空题
12．的展开式中的系数是．（用数字作答）
13．已知圆台的上、下底面的半径分别为1和3，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的表面积为．
14．对于数列，称为数列的1阶商分数列，其中；称为数列的阶商分数列，其中，当时，．已知数列，，且为数列的2阶商分数列，则数列的前项和为．
四、解答题
15．已知，，分别是的内角，，的对边，且．
(1)求；
(2)若是边上一点，且，，求的值．
16．已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)当时，若恒成立，求的值．
17．如图，在多面体中，四边形是边长为2的菱形，且，平面，平面平面，是等边三角形．
??
(1)求证：；
(2)若，点是线段上一点，二面角的余弦值为，求的长．
18．已知圆，点，动点，以为直径的圆与圆相外切，记点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设点，，，直线，分别与曲线交于点，（点异于点）．
①求证：直线过定点；
②若，为垂足，求点的轨迹方程．
19．某商场推出购物抽奖促销活动，活动规则如下：
①顾客在该商场内的消费额每满100元，可获得1张奖券；
②每张奖券可以进行1次抽奖活动，即从装有4个白球、2个红球的盒子中，随机摸取1个球（每个球被摸到的可能性相同）．奖励规则：若摸出白球，则没有中奖，摸出的白球放回原盒子中，本张奖券抽奖活动结束；若摸出红球，则中奖，获得礼品1份，且摸出的红球不放回原盒子中，同时得到一次额外的抽奖机会（该抽奖机会无需使用新的奖券），继续从当前盒子中随机摸取1个球，其奖励规则不变；
③从第二张奖券开始，使用每张奖券抽奖时均在前一张奖券抽奖活动的基础上进行；
④若顾客获得2份礼品（即该顾客将2个红球都摸出）或使用完所获奖券，则该顾客本次购物的抽奖活动结束．
(1)顾客甲通过在商场内消费获得了若干张奖券并进行抽奖，求事件“甲使用第2张奖券抽奖，中奖的概率；
(2)顾客乙通过在商场内消费获得了若干张奖券并进行抽奖，求事件“乙获得第2份礼品时，共使用了3张奖券”的概率；
(3)顾客丙消费了1000元，设表示顾客丙在这次抽奖活动中所使用奖券的数量，求的分布列及其期望．
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《2025届山西省太原市高三一模考试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
A
B
C
C
B
A
ACD
AB
题号
11
答案
BCD
1．B
【分析】直接由复数的除法运算可得解.
【详解】.
故选：B.
2．C
【分析】解不等式确定集合，然后由并集定义计算.
【详解】因为，，
解得：，，
所以.
故选：C.
3．A
【分析】利用平面向量减法的坐标表示求出，再利用平面向量平行的坐标