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2025届云南省保山市腾冲市第八中学高三一模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，则（????）
A． B． C． D．
2．设为虚数单位，若复数是纯虚数，则实数的值为（???）
A．1 B．2 C．3 D．1或3
3．一个内角为且斜边长为2的直角三角形，绕斜边旋转一周所得几何体的体积为（???）
A． B． C． D．
4．已知，则（????）
A． B． C． D．
5．已知正三棱锥的体积为，其底面三角形的斜二测直观图面积为，则三棱锥的高为（????）
A．2 B． C．1 D．
6．若函数在上单调，为实数，则（????）
A． B．
C． D．
7．在节目表演中为了增强舞台的亮度，且为了减弱演员面对强光的不适感，灯光设计人员巧妙地通过双曲线的光学性质，发散光线以保护演员的视力，如图，从双曲线右焦点发出的光线，其经过双曲线的反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.已知双曲线的离心率为，则当入射光线和反射光线互相垂直时，（???）
A． B． C． D．
8．对，设是关于的方程的实数根，，其中符号表示不超过的最大整数，则（???）
A．1012 B．1013 C．2022 D．2025
二、多选题
9．随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（????）（若随机变量Z服从正态分布，）
A． B．
C． D．
10．在平面直角坐标系中，为坐标原点，角的始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于两点，则下列说法中，正确的是（????）
A．在上的投影向量为
B．
C．若的长度为，则点的轨迹长度为
D．设，则的最大值为
11．在长方体中，底面是边长为的正方形，，点是的中点，点是上的动点（含端点），则下列说法正确的是（???）
A．异面直线与所成角的余弦值为
B．当时，过点、、的截面是梯形
C．当点运动到某点时，过点、、的截面是五边形
D．当时，过点、、的截面是矩形
三、填空题
12．设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为．
13．在空间直角坐标系中，平面、平面、平面把空间分成了八个部分，这八个部分称为“卦限”，通过点的横坐标、纵坐标、竖坐标，可确定点的确切位置及所处卦限.“卦限”取自《易经》中的“太极生两仪，两仪生四象，四像生八卦”，从直角坐标系中的原点，到数轴中的两个半轴，进而到平面直角坐标系中的四个象限，最终到空间直角坐标系中的八个卦限，是由简单到繁复的变化过程，体现了中国古典哲学与现代数学的关系，也体现了数学名词翻译的“信达雅”.若点的横坐标、纵坐标、竖坐标均取自集合，从中任取个点，则这个点在同一个卦限的概率为.
14．已知函数的图象与有两个交点，则的最小值为.
四、解答题
15．在中，角所对的边分别为为边的中点，，且.
(1)求；
(2)若，求的面积.
16．已知和为椭圆上两点.
(1)求C的离心率;
(2)若过P的直线交C于另一点B，且的面积为9，求的方程．
17．如图，在七面体中，四边形是菱形，其中，，，是等边三角形，且，点为的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
18．已知函数，，其中.
(1)求函数的单调区间；
(2)若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，求的值.
19．如果数列中存在四项，，，，使得（，，，互不相同），则称数列为稳健数列.
(1)若数列是项数为5的正项等比数列，且是稳健数列，求的公比的个数；
(2)若数列的项数为6，且，从中任意取出四项组成一个数列，求该数列为稳健数列的频率；
(3)若数列为等差数列，且公差不为0，从中任意取出四项组成一个数列，该数列为稳健数列的概率超过，求数列的项数的最大值.
【参考公式：】
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《2025届云南省保山市腾冲市第八中学高三一模数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
D
A
A
D
A
A
BC
ABD
题号
11
答案