重难点03函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性

明考情.知方向

2025年考向预测：函数的奇偶性与单调性、由导数求函数的值结合

新定义的解答题

重难点题型解读

题型1函数的单调性

1.(2024.上海?三模)已知函数y=f{x)是定义在(-2,2)上的奇函数，且以1)=￡

⑴了3)的解析式；

(2)判断y=f(x)的单调性，并用函数单调性的定义加以证明.

2.(2023.上海.模拟预测)函数f(x)=ax+x(a0),且f(l)=e+l.

(1)判断f3)在R上的单调性，并利用单调性的定义证明；

⑵g{x)=f{x)-Ax,且g⑴在(0,+时上有零点,人的取值范围.

3.(2023.上海青浦?二模)设y=f(x)、y=g(x)是定义域为R的函数，当8(邑)*(尤2)时,

f(M)-^(尤2)

8[xvx2)=

g)-g(j2)

⑴已知y=g(x)在区间/上严格增，且对任意知易￡/，西尹可，有5(西,工2)。，证明：函数y=在区

间/上是严格增函数;

⑵已知g(x)=|x3+ax2-3x,且对任意xpx2eR,当时，有^(jq,x2)0,若当乂=1时，函数

了=/3)取得极值，实数〃的值；

⑶已知g(x)=sin乙?；］=1,?-；］=-1,且对任意xpx2gR,当31)*(扬)时，有|^(^,%2)|1,证明：

/(x)=sinx.

4.(2023.上海长宁?一模)若函数y=f{x)与y=g(x)满足：对任意xpx2gR,都有

|/(x1)-/(x2)||g(x1)-g(x2)|,贝ij称函数y=f(x)是函数y=g(x)的“约束函数”.已知函数y=f⑴是函数

y=g(x)的“约束函数”.

⑴若了3)=/,判断函数y=g(x)的奇偶性，并说明理由：

(2)若/(%)=ax+j(?{a0),g(%)=sin%,实数的取值范围；

(3)若V=g⑴为严格减函数，/(0)/(1),且函数y=f(x)的图像是连续曲线,证：U)是(0,1)上

的严格增函数.

5.(2024.上海杨浦.一模)已知y=f(x)是定义域为［0,1］的函数，实数爵(0,1),称函数

y=(i—(°)+功(x)—f(px),xf［°,i］为函数y=f(x)的“p-生成函数”，i己作y=/^(x),xc［o,i］.

⑴若J(x)=cos27ix,函数=氏3)的值域；

2

(2)若/(x)=^2+ln(l+x),函数={⑴满足孔⑴河对任意的0GV1恒成立，实数〃的取值范围；

(3)若y=/(x)满足：①/(0)=0；②y=f(X)在(0,1)上存在导函数y=/(%),且y=f(x)在(0,1)上是严

格增函数；③对于任意pc(O,l),y=f(x)的“P-生成函数-y=^(x),xe［0,l］的图像是一段连续曲线，证:

函数：y=业在(。,1)上是严格增函数.

题型2函数的值

1.(2023.上海黄浦.一模)已知集合A扁定义航R南函裁/⑴，若对任意xeR,都有

J(x+Z)-/(x)gA,则称了⑴是关于A的同变函数.

(1)当A=(O,q)与(0,1)时，分别判断丁3)=2、是否为关于A的同变函数，并说明理由；

(2)若了⑴是关于{2}的同变函数，且当点［0,2)时，=试了⑴在［2月2k+2)(Z)上的表达

式，并比较了⑴与x+：的大小；

(3)若〃为正整数，且/⑴是关于［2一2一〃］的同变函数，证：了⑴既是关于(m.2^}(meZ)的同变函数，

也是关于［。,+8)的同变函数.

2.(2023-上海金山?一模)网络购物行业日益发达，各销售平台通常会配备送货上门服务.小金正在配送客

户购买的电冰箱，并获得了客户所在小区门户以及建筑转角处的平面设计示