连续周期时间信号的傅里叶级数

连续周期时间信号的傅里叶级数1.三角形式的傅里叶级数三角函数集{1,cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,…}在一个周期内是一个完备的正交函数集。设周期信号f(t)，其周期为T，角频率?=2?/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，可分解为如下三角级数：傅里叶系数：称为f(t)的三角形式傅里叶级数n的偶函数n的奇函数

连续周期时间信号的傅里叶级数狄里赫利(Dirichlet)条件不满足条件1的例子如下图所示。该信号周期为8，其组成：后一个阶梯的高度和宽度是前一个阶梯的一半。可见在一个周期内它的面积不会超过8，但不连续点的数目是无穷多个。条件1：在一周期内，如果有间断点存在，则间断点的数目应是有限个。

连续周期时间信号的傅里叶级数条件2：在一周期内，极大值和极小值的数目应是有限个。不满足条件2的一个函数是对此函数，其周期为1，有()1d10òttf()()10,π2sin￡?è?=tttf?è?LL()tfO11-t1

连续周期时间信号的傅里叶级数条件3:在一周期内，信号绝对可积。周期信号，周期为1，不满足此条件。()()10,1￡=tttf

连续周期时间信号的傅里叶级数式中，A0=a0，式(1)表明：周期信号可分解为直流和许多余弦分量。A0/2称为直流分量A1cos(?t+?1)称为基波或一次谐波，其角频率与原周期信号相同A2cos(2?t+?2)称为二次谐波，其频率是基波的2倍通常，Ancos(n?t+?n)称为n次谐波。An是n的偶函数，?n是n的奇函数。an=Ancos?n，bn=–Ansin?n，n=1,2,…此时傅氏级数可写为将三角形式傅氏级数中同频率项合并

连续周期时间信号的傅里叶级数2.指数形式的傅里叶级数三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用指数形式的傅里叶级数。系数Fn称为复傅里叶系数。利用虚指数函数集{ejnΩt，n=0，±1，±2，…}，则指数形式的傅里叶级数

连续周期时间信号的傅里叶级数上式中第三项的n用–n代换，A–n=An，?–n=–?n，则上式写为why？分析：利用欧拉公式可从三角形式推出指数形式指数形式的傅里叶级数

连续周期时间信号的傅里叶级数3.三角和指数形式的傅里叶系数之间关系n的偶函数：an，An，|Fn|；n的奇函数：bn，?n

周期信号的功率周期信号一般是功率信号，其平均功率为代入f(t)傅里叶级数形式得：分析：展开被积函数可知，具有的余弦项在一个周期内积分等于0；具有的项，当m≠n时，积分等于0；m=n时，积分值为。此时平均功率为：直流功率谐波功率

周期信号的功率表明：周期信号平均功率是信号直流和n次谐波分量在1?电阻上消耗的平均功率之和。Parseval恒等式，是Parseval定理在傅里叶级数情况下的具体体现。总平均功率=直流、各次谐波的平均功率之和

小结