数学思维培养
一、数学直觉思维概念的界定
简单的说，数学直觉思维是具有意识的人脑对数学对象
(结构及其关系)的某种直接的领悟和洞察。
对于直觉作以下说明：
(1)直觉与直观、直感的区别
直观与直感都是以真实的事物为对象，通过各种感觉器
官直接获得的感觉或感知。例如等腰三角形的两个底角相
等，两个角相等的三角形是等腰三角形等概念、性质的界定
并没有一个严格的证明，只是一种直观形象的感知。而直觉
的研究对象则是抽象的数学结构及其关系。庞加莱说：“直觉
不必建立在感觉明白之上．感觉不久便会变的无能为力。例
如，我们仍无法想象千角形，但我们能够通过直觉一般地思
考多角形，多角形把千角形作为一个特例包括进来。”由此可
见直觉是一种深层次的心理活动，没有具体的直观形象和可
操作的逻辑顺序作思考的背景。正如迪瓦多内所说：“这些富
有创造性的科学家与众不同的地方，在于他们对研究的对象
有一个活全生的构想和深刻的了解，这些构想和了解结合起
来，就是所谓‘直觉’’’’……，因为它适用的对象，一般说来，
在我们的感官世界中是看不见的。”
(2)直觉与逻辑的关系
从思维方式上来看，思维可以分为逻辑思维和直觉思
维。长期以来人们刻意的把两者分离开来，其实这是一种误
解，逻辑思维与直觉思维从来就不是割离的。有一种观点认
为逻辑重于演绎，而直观重于分析，从侧重角度来看，此话
不无道理，但侧重并不等于完全，数学逻辑中是否会有直觉
成分?数学直觉是否具有逻辑性?比如在日常生活中有许多说
不清道不明的东西，人们对各种事件作出判断与猜想离不开
直觉，甚至可以说直觉无时无刻不在起作用。数学也是对客
观世界的反映，它是人们对生活现象与世界运行的秩序直觉
的体现，再以数学的形式将思考的理性过程格式化。数学最
初的概念都是基于直觉，数学在一定程度上就是在问题解决
中得到发展的，问题解决也离不开直觉，下面我们就以数学
问题的证明为例，来考察直觉在证明过程中所起的作用。
一个数学证明可以分解为许多基本运算或许多“演绎推
理元素”，一个成功的数学证明是这些基本运算或”演绎推理
元素”的一个成功的组合，仿佛是一条从出发点到目的地的通
道，一个个基本运算和“演绎推理元素”就是这条通道的一个
个路段，当一个成功的证明摆在我们面前开始，逻辑可以帮
助我们确信沿着这条路必定能顺利的到达目的地，但是逻辑
却不能告诉我们，为什么这些路径的选取与这样的组合可以
构成一条通道。事实上，出发不久就会遇上叉路口，也就是
遇上了正确选择构成通道的路段的问题。庞加莱认为，即使
能复写出一个成功的数学证明，但不知道是什么东西造成了
证明的一致性，……，这些元素安置的顺序比元素本身更加
重要。笛卡尔认为在数学推理中的每一步，直觉力都是不可
缺少的。就好似我们平时打篮球，要靠球感一样，在快速运
动中来不及去作逻辑判断，动作只是下意识的，而下意识的
动作正是在平时训练产生的一种直觉。
在教育过程中，老师由于把证明过程过分的严格化、程
序化。学生只是见到一具僵硬的逻辑外壳，直觉的光环被掩
盖住了，而把成功往往归功于逻辑的功劳，对自己的直觉反
而不觉得。学生的内在潜能没有被激发出来，学习的兴趣没
有被调动起来，得不到思维的真正乐趣。《中国青年报》曾
报道，“约30％的初中生学习了平面几何推理之后，丧失了
对数学学习的兴趣”，这种现象应该引起数学教育者的重视与
反思。
二、直觉思维的主要特点
直觉思维具有自由性、灵活性、自发性、偶然性、不可
靠性等特点，从培养直觉思维的必要性来看，笔者以为直觉
思维有以下三个主要特点：
(1)简约性
直觉思维是对思维对象从整体上考察，调动自己的全部
知识经验，通过丰富的想象作出的敏锐而迅速的假设，猜想
或判断，它省去了一步一步分析推理的中间环节，而采取了
“跳跃式”的形式。它是一瞬间的思维火花，是长期积累上的
一种升华，是思维者的灵感和顿悟，是思维过程的高度简化，
但是它却清晰的触及到事物的“本质”。
(2)创造性
现代社会需要创造性的人才，我国的教材由于长期以来
借鉴国外的经验，过多的注重培养逻辑思维，培养的人才大
多数习惯于按部就班、墨守成规，缺乏创造能力和开拓精神。
直觉思维是基于研究对象整体上的把握，不专意于细节的推
敲，是思维的大手笔。正是由于思维的无意识性，它的想象
才是