7．3离散型随机变量的数字特征
【题型归纳目录】
题型一：利用定义求离散型随机变量的均值
题型二：离散型随机变量均值的性质
题型三：离散型随机变量均值的应用
题型四：求离散型随机变量的方差
题型五：方差的性质的应用
题型六：均值与方差的综合应用
【知识点梳理】
1、离散型随机变量的均值或数学期望
正确地求出离散型随机变量的分布列是求解期望的关键一般地，若离散型随机变量的分布列为
…
…
…
…
则称为随机变量的均值或数学期望，数学期望简称为期望．均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平．
2、两点分布的期望
一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么；
3、离散型随机变量的均值的性质
设X的分布列为．
一般地，下面的结论成立：．
4、离散型随机变量的方差、标准差
正确求解随机变量的方差的关键是正确求解分布列及其期望值
设离散型随机变量X的分布列为
…
…
…
…
考虑所有可能取值与的偏差的平方，因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值的偏离程度，我们称
为随机变量的方差，有时也记为，并称为随机变量的标准差，记为．
5、几个常见的结论
（1）．
（2）若服从两点分布，则．
【典型例题】
题型一：利用定义求离散型随机变量的均值
【典例1-1】（2024·全国·模拟预测）从1-20中随机抽取3个数，记随机变量为这3个数中相邻数组的个数．如当这三个数为11，12，14时，；当这三个数为7，8，9时，．则的值为（????）
A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
【答案】B
【解析】随机变量的取值为0,1,2，
当时，所取的三个数中仅两个数相邻，其中取1,2和19,20，对应取法为17种，其余17情况取法为16种，
，
当时，即所取的三个数中两两相邻，取法有18种，，
所以当时，即所取的三个数彼此不相邻，取法有种，
，
.
故选：B.
【典例1-2】（2024·高三·江西宜春·阶段练习）从1-20中随机抽取3个数，记随机变量为这3个数中相邻数组的个数.如当这三个数为11，12，14时，；当这三个数为7，8，9时，.则的值约为（????）
A．0.22 B．0.31 C．0.47 D．0.53
【答案】B
【解析】随机变量的取值为0，1，2，
当时，所取的三个数中仅两个数相邻，两数相邻有19种情况，
其中相邻两数取1，2和19，20时，对应取法为17种，
其余17种情况取法均有16种，，
当时，即所取的三个数中两两相邻，取法有18种，，
所以当时，即所取的三个数彼此不相邻，取法有种，
，
.
故选：B.
【变式1-1】（2024·高三·北京·阶段练习）暗箱中有编号为1，2的2个球，现从中随机摸1个球，若摸到2号球，则得2分，并停止摸球；若摸到1号球，则得1分，并将此球放回，重新摸球．记摸球停止时总得分为X，则（????）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】由题意可得的可能取值为2,3,4,5…n，
，，,…，，
，①
则，②
①②得，，
即得.当时，.
故选：A.
【变式1-2】（2024·高二·湖南衡阳·期中）一袋中装有编号分别为1，2，3，4的4个球，现从中随机取出2个球，用表示取出球的最大编号，则（????）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【解析】由题意随机变量X所有可能取值为2，3，4.
且，，.
因此X的分布列为：
X
2
3
4
P
则，
故选：C.
【变式1-3】（2024·高二·全国·课时练习）已知随机变量的分布列为：
1
2
3
0.2
0.5
则的均值是（????）
A．2 B．2.1
C．2.3 D．随的变化而变化
【答案】B
【解析】由得，
∴.
故选：B
【变式1-4】（2024·高二·全国·课时练习）某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜错得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X的均值（????）
A．0.9 B．0.8
C．1.2 D．1.1
【答案】A
【解析】依题意得，的可能取值为0，1，2，
，
，
．
可得X的分布列如表所示：
0
1
2
0.3
0.5
0.2
.
故选：A．
【方法技巧与总结】
求随机变量的均值关键是写出分布列，一般分为四步：（1）确定X的可能取值；（2）计算出P（X＝k）；（3）写出分布列；（4）利用E（X）的计算公式计算E（X）．
题型二：离散型随机变量均值的性质
【典例2-1】（2024·高二·山东德州·期末）已知离散型随机变量服从