7．2离散型随机变量及其分布列
【题型归纳目录】
题型一：随机变量的概念
题型二：离散型随机变量的判断
题型三：用随机变量表示事件的结果
题型四：求离散型随机变量的分布列
题型五：分布列的性质及其应用
题型六：两点分布
【知识点梳理】
1、随机变量
随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应随机试验的某一个随机事件．
定义：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X（ω）与之对应，我们称X为随机变量．
2、离散型随机变量
可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，用小写英文字母表示随机变量的取值．
3、随机变量和函数的关系
随机变量的定义与函数的定义类似，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同之处在于Ω不一定是数集．
4、离散型随机变量的分布列
离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各值的概率之和
（1）离散型随机变量的分布列
一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率为X的概率分布列，简称为分布列．
（2）可以用表格来表示X的分布列，如下表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
还可以用图形表示，如下图直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数X的分布列，称为X的概率分布图．
5、离散型随机变量的分布列的性质
（1）；
（2）．
6、两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”，定义如果，则，那么的分布列如表所示
0
1
我们称X服从两点分布或0－1分布．
【典型例题】
题型一：随机变量的概念
【例1】（2024·陕西·渭南市华州区咸林中学高二期中）袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个球，下列选项中可以用随机变量表示的是（????）．
A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球
C．取到白球的个数 D．取到球的个数
【答案】C
【解析】选项A，B是随机事件；选项D是定值2；选项C可能的取值为0，1，2，可以用随机变量表示．
故选：C．
【变式1-1】（2024·全国·高二课时练习）将一枚质地均匀的骰子掷两次，下列选项可作为此次试验的随机变量的是（????）
A．第一次出现的点数 B．第二次出现的点数
C．两次出现的点数之和 D．两次出现相同点的种数
【答案】C
【解析】由随机变量的定义知，将一枚质地均匀的骰子掷两次，两次出现的点数之和可作为此次试验的随机变量．
故选：C．
【方法技巧与总结】
解答此类题目的关键在于分析变量是否满足随机试验的结果，即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数，但这些数是预先知道所有可能取的值，而不知道在一次试验中哪一个结果发生，随机变量取哪一个值．
题型二：离散型随机变量的判断
【例2】（2024·北京·高二期末）下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（????）
①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数；
②一个沿直线进行随机运动的质点离坐标原点的距离；
③某同学射击3次，命中的次数；
④某电子元件的寿命；
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】C
【解析】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，故①是离散型随机变量；
对于②，沿直线进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，故②不是离散型随机变量；
对于③，某同学射击3次，命中的次数可以一一列举出来，故③是离散型随机变量；
对于④，某电子元件的寿命可为任意值，不能一一列举出来，故④不是离散型随机变量；
故选：C．
【变式2-1】（2024·黑龙江·哈尔滨三中高二期中）下面给出四个随机变量：
①一高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数ξ；
②一个沿直线y＝2x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置η；
③某指挥台5分钟内接到的雷达电话次数X；
④某同学离开哈尔滨市第三中学的距离Y；
其中是离散型随机变量的为（????）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】C
【解析】对于①，半小时内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量；
对于②，沿直线y＝2x进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量；
对于③，5分钟内接到的雷达电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量；
对于④，某同学离开哈尔滨市第三中学的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量，
所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③．
故选：C
【方法技巧与总结】
判断离散型随机变量的方法
(1)明确随机试验的所有可能结果．
(2)将随机试验的结果数量化．
(3)确定试验结果所对应的实数是否可以一一列出，如能一一列出，则该随机变量是离散型随机