6．3二项式定理
【题型归纳目录】
题型一：二项式定理的正用、逆用
题型二：二项展开式的通项的应用
题型三：求两个多项式积的特定项
题型四：余数和整除的问题
题型五：近似计算
题型六：二项展开式的系数和问题
题型七：二项式系数性质的应用
题型八：三项式及多项式展开问题
【知识点梳理】
知识点一：二项式定理
1、定义
一般地，对于任意正整数，都有：
这个公式所表示的定理叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式．
式中的做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：，其中的系数叫做二项式系数
2、二项式的展开式的特点：
（1）项数：共有项，比二项式的次数大1；
（2）二项式系数：第项的二项式系数为，最大二项式系数项居中；
（3）次数：各项的次数都等于二项式的幂指数．字母降幂排列，次数由到0；字母升幂排列，次数从0到，每一项中，a，b次数和均为；
知识点二、二项展开式的通顶公式
二项展开式的通项：
公式特点：
（1）它表示二项展开式的第项，该项的二项式系数是；
（2）字母的次数和组合数的上标相同；
知识点三：二顶式系数及其性质
1、的展开式中各项的二顶式系数、、…具有如下性质：
①对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离的两项的二项式系数相等，即；
②增减性与最大值：二项式系数在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间取得最大值．其中，当为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数最大；当为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数相等，且最大．
（3）各二项式系数之和为，即；
（4）二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即．
知识点诠释：
二项式系数与展开式的系数的区别
二项展开式中，第项的二项式系数是组合数，展开式的系数是单项式的系数，二者不一定相等．
2、展开式中的系数求法的整数且
知识点诠释：
三项或三项以上的展开式问题，把某两项结合为一项，利用二项式定理解决．
知识点四：二项式定理的应用
1、求展开式中的指定的项或特定项（或其系数）．
2、利用赋值法进行求有关系数和．
3、利用二项式定理证明整除问题及余数的求法：
4、证明有关的不等式问题：
5、进行近似计算：
【典型例题】
题型一：二项式定理的正用、逆用
【典例1-1】（2024·高二·上海·课时练习）求的二项展开式．
【解析】由二项式定理，得
，
所以的二项展开式是．
【典例1-2】（2024·高二·全国·课时练习）（1）求的展开式；
（2）化简．
【解析】（1）
.
（2）原式
.
【变式1-1】（2024·高二·全国·课时练习）用二项式定理展开下列各式：
(1)；
(2)．
【解析】（1）
.
（2）
.
【变式1-2】（2024·高二·全国·课时练习）化简：
(1)；
(2).
【解析】（1）由，
，
所以.
（2）由二项式的展开式的通项为，
二项式的展开式的通项为，
所以
.
【变式1-3】（2024·高二·重庆江北·阶段练习）二项式的展开式共9项.
(1)求n的值；
(2)求展开式中的有理项.
【解析】（1）因为二项式的展开式共9项，
所以，得；
（2）时二项式即为，
展开式通项公式为，．
若为有理项，则为整数，所以k为4的倍数，从而．
∴所有有理项为，，．
【方法技巧与总结】
（1）的二项展开式有项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n；②字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n．
（2）逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．
题型二：二项展开式的通项的应用
【典例2-1】（2024·高三·云南昆明·阶段练习）在的展开式中，常数项为．（用数字作答）
【答案】448
【解析】展开式的通项为，
令，解得，故常数项为．
故答案为：448.
【典例2-2】（2024·高三·上海普陀·期末）的常数项为第3项，求
【答案】
【解析】因为的常数项为第3项，
所以，，
所以，即.
故答案为：.
【变式2-1】（2024·高三·上海杨浦·阶段练习）已知的二项展开式中的第9项是7920，则实数为．
【答案】
【解析】展开式中的第9项是，解得，又，所以．
故答案为：.
【变式2-2】（2024·江西上饶·一模）的展开式中的系数为（用数字作答）．
【答案】80
【解析】对，有，
令，则，有.
故答案为：.
【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）在的展开式中，项的系数是．
【答案】
【解析】的展开式的通项公式为，令得项的系数为，
的展开式的通项公式为，令得项的系数为，
同理可得中项的系数为，中项的系数为，
故的展开式中，项的系数为.