4.3幂函数
幂函数
幂函数的定义及一般形式
形如的函数称为幂函数，其中是自变量，为常数
幂函数的图象和性质
①幂函数的单调性
②幂函数的奇偶性
考点1幂函数求值
【例1】已知幂函数的图象过点，则（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据待定系数法求解，即可代入求解.
【详解】设，则，
所以，故，
故选：C
【变式1-1】已知幂函数的图象过点，则的值为（????）
A．2 B．3 C．4 D．9
【答案】B
【分析】设幂函数为，代入点计算得到，计算得到答案.
【详解】设幂函数为，图象过点，故，故，
，.
故选：B
【变式1-2】已知幂函数满足，则的值为（????）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】设出幂函数的解析式，根据已知，求出参数的关系式，即可计算作答.
【详解】依题意，设，则，
所以.
故选：B
【变式1-3】已知幂函数的图象过点，则的值为（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用已知条件求出幂函数的解析式，然后代值计算可得出的值.
【详解】设，则，则，，故.
故选：A.
考点2幂函数的图象问题
【例2】幂函数在第一象限内的图象依次是如图中的曲线（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的指数的大小与曲线的位置关系（可在直线右侧）比较从而得出结论．
【详解】在第一象限内直线的右侧，幂函数的图象从上到下相应的指数由大变小，即“指大图高”，
所以幂函数在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为，
在第一象限内的图象为在第一象限内的图象为.
故选：D
【变式2-1】已知幂函数的图象经过点，则该幂函数在第一象限的大致图象是（????）
A．B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据求出幂函数的解析式，再根据幂函数的性质即可得出答案.
【详解】设，则，所以，所以，
所以，因为，
因为函数在上递增，且增加的速度越来越缓慢，
故该幂函数在第一象限的大致图象是B选项.
故选：B.
【变式2-2】如图所示是函数（m、且互质）的图象，则（????）
A．m，n是奇数且 B．m是偶数，n是奇数，且
C．m是偶数，n是奇数，且 D．m，n是偶数，且
【答案】B
【分析】根据图象得到函数的奇偶性及上单调递增，结合m、且互质，从而得到答案.
【详解】由图象可看出为偶函数，且在上单调递增，
故且为偶数，又m、且互质，故n是奇数.
故选：B
【变式2-3】下图给出个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是（????）
????????
A．①，②，③，④
B．①，②，③，④
C．①，②，③，④
D．①，②，④，④
【答案】A
【分析】根据函数的解析式判断图像性质，即可判断图像.
【详解】幂函数的定义域为，且为奇函数，在上单调递增，对应图像①；
幂函数的定义域为，且为偶函数，在上单调递增，对应图像②；
幂函数的定义域为，为非奇非偶函数，在上单调递增，对应图像③；
幂函数的定义域为，且为奇函数，在上单调递减，对应图像④；
故选：A.
【变式2-4】如图的曲线是幂函数在第一象限内的图象.已知分别取四个值，与曲线相应的依次为（????）
??
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】作直线分别与曲线相交，结合函数的单调性即可判断.
【详解】因为函数为增函数，所以，
所以作直线分别与曲线相交，交点由上到下分别对应的n值为，
由图可知，曲线相应n值为.
故选：A
??
考点3幂函数型单调性问题
【例3】函数的单调递减区间为（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求定义域，再利用复合函数的同增异减可得函数单调递减区间.
【详解】
，解得
即函数的定义域为，
因为函数在定义域内是单调递增函数，
要求函数的单调递减区间，
即求函数在上的单调减区间
由于其开口向下，且对称轴为，故减区间为
故选：A.
【变式3-1】函数的单调递减区间为（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】，由结合函数的递减区间可得结果.
【详解】，
由得，又，
所以函数的单调递减区间为.
故选：．
【变式3-2】函数的单调递增区间是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由复合函数单调性的确定，结合二次函数、幂函数的性质即可得解.
【详解】令，则或，
所以函数的定义域为，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
且函数在上单调递增，
所以函数的单调递增区间是.
故选：B.
【点睛】本题考查了复合函数单调性的判断及二次函数、幂函数性质的应用，属于基础题.
考点4由幂函数的单调性求参数
【例4】已知幕函数在上单调递减，则实数的值为（????）
A． B． C．3 D．1
【答案】A
【分析】根据幂函数的定义，求得或，结