二、环流量与旋度斯托克斯公式第7节一、斯托克斯公式三、向量微分算子目录上页下页返回结束
一、斯托克斯(Stokes)公式定理7.1.设光滑曲面?的边界?是分段光滑曲线,(斯托克斯公式)个空间域内具有连续一阶偏导数,?的侧与?的正向符合右手法则,在包含?在内的一证:情形1?与平行z轴的直线只交于一点,设其方程为为确定起见,不妨设?取上侧(如图).则有上页下页返回结束
则(利用格林公式)上页下页返回结束
因此同理可证三式相加,即得斯托克斯公式;上页下页返回结束
情形2曲面?与平行z轴的直线交点多于一个,则可通过作辅助线面把?分成与z轴只交于一点的几部分,在每一部分上应用斯托克斯公式,然后相加,由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消,所以对这类曲面斯托克斯公式仍成立.注意:如果?是xoy面上的一块平面区域,则斯托克斯公式就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.证毕上页下页返回结束
为便于记忆,斯托克斯公式还可写作:或用第一类曲面积分表示:上页下页返回结束
例1.利用斯托克斯公式计算积分其中?为平面x+y+z=1被三坐标面所截三角形的整个解:记三角形域为?,取上侧,则边界,方向如图所示.利用对称性上页下页返回结束
例2.?为柱面与平面y=z的交线,从z轴正向看为顺时针,计算解:设?为平面z=y上被?所围椭圆域,且取下侧,利用斯托克斯公式得则其法线方向余弦上页下页返回结束
二、环流量与旋度（课本249页）斯托克斯公式设曲面?的法向量为曲线?的单位切向量为则斯托克斯公式可写为上页下页返回结束
令,引进一个向量记作向量rotA称为向量场A的称为向量场A定义:沿有向闭曲线?的环流量.或①于是得斯托克斯公式的向量形式:旋度.上页下页返回结束rotation
设某刚体绕定轴l转动,M为刚体上任一点,建立坐标系如图,则角速度为?,点M的线速度(P20,例3.5)为(此即“旋度”一词的来源)旋度的力学意义:上页下页返回结束
向量场A产生的旋度场穿过?的通量注意?与?的方向形成右手系!为向量场A沿?的环流量斯托克斯公式①的物理意义:例3.求电场强度的旋度.解:(除原点外)这说明,在除点电荷所在原点外,整个电场无旋.上页下页返回结束
的外法向量,计算解:例5.设上页下页返回结束
三、向量微分算子（251页）定义向量微分算子:它又称为▽(Nabla)算子,或哈密顿(Hamilton)算子.则上页下页返回结束
则高斯公式与斯托克斯公式可写成:上页下页返回结束
小结1.斯托克斯公式上页下页返回结束
2.场论中的三个重要概念设梯度:上页下页返回结束散度:旋度:则
作业P237A类：1(1)(3);2;B类：1P254A类：11(2)(4);13(1);14上页下页返回结束