-1-第一节常微分方程的基本概念两个实例常微分方程的基本概念
-2-一两个实例引例1一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:①(C为任意常数)由②得C=1,因此所求曲线方程为②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.
-3-引例2.列车在平直路上以的速度行驶,制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.解:设列车在制动后t秒行驶了s米,已知由前一式两次积分,可得利用后两式可得因此所求运动规律为说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程.即求s=s(t).
-4-二常微分方程的基本概念包含自变量,未知函数及其导数或微分的方程叫做微分方程.实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的导数(或微分)之间的关系式.1.定义分类:常微分方程偏微分方程
-5-方程中所出现未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶.(显式方程)一般地,n阶微分方程的形式是或2.阶3.n阶微分方程一般形式(隐式方程)
-6-设在I上有n阶连续导数,如果将其代入方程使方程成为恒等式，即则称函数为方程在区间I上的解。例如为方程的解。为方程的解。4.解
-7-含有相互独立的任意常数,且任意常数的(1)通解:个数与方程的阶数相同.(2)特解:确定了通解中任意常数后所得到的解.为方程的特解。为方程的特解。
-8-5.初始条件,初值问题(1)定解条件：确定微分方程特解的条件称为定解条件,常见的为初始条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):
-9-一阶:二阶:(2)初值问题:求微分方程满足初始条件的特解的问题.
-10-积分曲线:微分方程的解的图象积分曲线族:通解的图象.6.积分曲线:解的几何意义求解一阶微分方程特解的几何意义:求过定点的那条积分曲线;求解二阶微分方程特解的几何意义:求过定点且在该点的切线的斜率为定值的那条积分曲线.
-11-解例验证:函数的解.并求满足初始条件是微分方程的特解.
-12-所求特解为