根据给定边界条件对边值问题分类：
第一类边值问题：已知电位函数在全部边界面上的分布值。
Q=f
第二类边值问题：已知函数在全部边界面上的法向导数。
4.1边值问题的唯一性定理
一、边值问题
边值问题是指存在边界面的电磁问题。
第三类边值问题(混合边值问题):已知一部分边界面上的函数值，和另一部分边界面上函数的法向导数。
No
Image
阐明：若对同一面积，同步给定φ和的值，则不存在唯一解。
唯一性定理的意义：
指出了静态场边值问题具有唯一解的条件
为静态场边值问题求解措施提供了理论根据，为成果正确性提
供了判据
唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程(泊松方程)的理论根据
二、唯一性定理
No
Image
问题：如图所示无限长金属导体槽，其顶
面电位为u,其他三面接地，求导体槽内
电位分布。b
建立求解方程：
导体槽内为无源区，故电位满足拉普拉斯方程，即a
x=0=00≤b)=0(0≤vb
9
lx=a
9y=0=0(0≤x≤a
AU(O≤x≤a)
用分离变量法求解过程：
v2p=0
4.2直角坐标系中的分离变量法
的心
》=0
No
Image
=U
X
0
很明显，φ为x,y的函数。则可令
φ(x,y)=X(x)·Y(y)
代入方程得
仅为x坐标函数
仅为y坐标函数
Image
No
经过引入分离常数k,将二维拉普拉斯方程分解为两个齐次常微分方程。分别解两个常微方程就能够得出原问题的解。
解常微分方程(k取值不同解形式不同):
当k=0时：
No
要使对任意x,y两式相等，则须两式均为常数。令Image
X(x)
1d2Y(
Y(y)dy2
A,B,C,,D,待定
-k2
分离常数
No
当k≠0时：Image
A,B,C,D待定
∴φ=[Asin(kx)+Bcos(kx)][Csh(ky)+Dch(ky)]
因为三角函数具有周期性，所以解中的分离变量k能够取一系列特定
的值kn(n=1,2,3……),即：
φ=[A,sin(k,x)+B,cos(k,x)J[Cnsh(k,y)+D,ch(k,y)]n=1,2,3,……因为拉普拉斯方程是线性方程，所以方程的特解的线性组合依然
是方程的解。
将全部的特解线性组合起来，得到电位函数的通解。
φ=(A?x+B?)(C?y+D?)天
解中全部未知系数和分离变量kn由边界条件拟定。
Vφ=0
l=0(0≤yb)(1)
9x==0(0≤yb)(2)
v==0(0≤x≤a)(3)
y=bO≤x≤a)(4)
φ=(A?x+B?)(C?y+D?)+
由槃)
由条件(3)→Dn=0
由条件(4)
Image
a
No
将u在(0,a)区间展开为傅立叶级数
nsh(cb
a
所以，接地导体槽内部电位分布为
No
Image
等效电荷
●q
非均匀感应电荷产生的
电位极难求解，能够用
等效电荷的电位替代
非均匀感应电荷
非均匀感应电荷●q
等效电荷
接地导体球附近有一种点电荷，如图。
4.3镜像法
几种实例：
求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位
非均匀感应电荷产生日电位极难求解，能够月等效电荷的电位替代
Image
No
No
镜像法原理Image
镜像法的目的：把原问题中包括经典边界的场的计算问题化为
无限大均匀媒质空间中的问题求解，到达简化求解的目的
镜像法基本思绪：在求解域外的合适位置，放置虚拟电荷等效替代分界面上导体的感应面电荷或媒质的极化面电荷的作用，取消分界面的存在。
镜像法理论根据：唯一性定理。
由唯一性定理：满足同一方程和一样边界条件的电位分布的解是
相同的，所以引入像电荷(等效电荷)后，应该有
电位函数依然满足原方程(拉氏方程或泊松方程)电位分布仍满足原边界条件
镜像电荷位置选择原则：
镜像电荷必须位于求解区域以外
镜像电荷的引入不能变化原问题的边界条件
原问题：
无限大接地导体平面(z=0),点
电荷q位置：z=h
求空间中电位分布。
等效问题：
要求：与原问题边界条件相同
原电荷：q:z=h
镜像电荷(等效电荷):-q-z=-h(求解域外)
取消导体边界面，z0空间媒质充
斥整个空间。
一、平面接地导体边界No