2.4平面场
2.4.1用复变函数来表示平面向量场
物理上所谓“场”就是指每一点逗对应有物
理
量一个区域，在这里，只研究平行于一个
平面定常向量场，即场中向量都平行一
个平面S,而且垂直于S任何一条直线上
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点处向量都是相等，场中向量于时
间无关，显然，这种向量场在全部平行于S
诸平面内场分布情况是完全相同，
所以它完全能够用于平行于S平面
内场示。
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图(2.4.1)
S
So
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图(2.4.2)
y
A,
A
X
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在平面S?内取定直角坐标系xoy,于是
场中每一个含有分量A与A的向量A=Ai+A,j
图(2.4.2)便可用复数A=A+iA,来表示
因为场中点可用复数z=x+iy来表示，所
以平面向量场A=A(x,y)i+iA,(x,)j可借助于
复变函数：A=A(x,y)+iA,(x,)来表示，
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已知某以复变函数w=u(x,y)+iv(x,y),
由此可作出对应向量场为：
w=u(x,y)i+v(x,y)j
一样，考虑垂直于均匀带电无限长直导线全部平面上，电场分布情况完全相同，因而能够取其中以平面作代表，看成平面定常向量场来研究，因为电场强度向量
E=E、(x,y)i+E、(x,y)j
所以该平面场能够用一个复变函数
E=E(x,y)+iE,(x,y)来表示。
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2.4.2平面流体场
设“流体是不可压缩”是指流体密度不
因压力改变而改变。取流体所在平面
为复平面，场内各点处速度向量为：
v=vx(x,y)i+v,(x,y)j
若在某一区间D内该场是无源，那么:
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因而-v,dx+v、dy是某一二元函数
ψ(x,y)全微分，即：
在这个函数等值线y(x,y)=c上有
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上式表明，在曲线y(x,x)=C上，场
向量与该曲线相切，所以称此曲线
y(x,y)=C?为流线，称函数ψ(x,y
为流函数。
又若在区域D内，该场是无旋，则有：
所以-v,dx+v,dy为某一二元函数φ(x,y)
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所以φ(x,y)是场
v=v、(x,y)i+iv,(x,y)j
势函数，曲线y(x,y)=C?称为等势线
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全微分，即：
在等势线上，有：
若在区域D内，该场无源又无旋，则有：
所以，当上述四个偏导数连续时，
w=f(z)=φ(x,y)+iy(x,y)
组成一个解析函数，通常称此函数，
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f(x)为这个场复势。由(2.2.2)知
于是
通常称f(z)是该场复速度。
从上述讨论能够看到，一个无源无旋平面
流体场复势是一个解析函数，反之，已知一个解析函数，由此可结构出一个平面流体场，而该流体场复势正是这个解析函数来表示，这就是解析函数物理意义。
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除此之外，用复势来刻画流动比用复速度方便，因为由复势求复速度只用到求导数，
反之则要用积分，而且由复势轻易求流线和势线，这么就能够了解流动情况。
例1考查复势为f(z)=ax,y(x,y)=ay
故势线是x=.(z)流=,是y=C?(c,c?均为实数)
方向指向x轴正向。
a
线
所以场中任一点流速为v=f(Z)=a
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该场流动情况如(图2.4.3)所表示，这
种流体称为均匀常流(实线表示流线，虚
。+X
线表示势线)。
y等势线
图(2.4.3)
流线
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例2设原点是强度(在单位时间流出或漏去
液量)为N0源头(或N0沟汇)。而在无穷
远处流体保持静止，而且在平面上没有其它源
头和沟汇，显然，流线是由原点发出半射线，
等势线是以原点为中心圆周。速度大小仅与
点z模相关，方向与圆周|z|=r外法线方
向一致，因而流速向量可表示为：
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v=h(z|).自
因为流体是不可压缩，流体在任一圆环域
ri|z|r?
内不能积蓄，所以流过圆周|2|=r与|z1=r?
流量为
vn,ds=φh(z|)ds=2π|z|.h(zb)
|
N=
φ
z|=r
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(其中n0是2|=r单位外法线向量，
ds是弧微分)所以:hdzD
而流量可表示为：
显然它符合“在无穷远处静止状态”要求，
由此可求得复势函数f(z)导数为
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故所求复势函数为：f(z)=Lnz+c.
深入得到势函数和流函数分别为：
2兀
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该场流体情况(图2.4.4)和(图2.4.5)所表示(实线表示流线，虚线表示势线)。
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例3设原点是一个漩涡点，其强度为-ir
(在单位时间绕原点流动液量为厂，
在无穷