习题课2数列的求和问题第一章2021

课堂篇探究学习

探究一分组法求和例1已知正项等比数列{an}中,a1+a2=6,a3+a4=24.(1)求数列{an}的通项公式;(2)数列{bn}满足bn=log2an,求数列{an+bn}的前n项和.解(1)设数列{an}的公比为q(q0),

(2)bn=log22n=n,设{an+bn}的前n项和为Sn,则Sn=(a1+b1)+(a2+b2)+…+(an+bn)=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn)=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)

反思感悟1.若数列{cn}的通项公式为cn=an±bn,且{an},{bn}为等差或等比数列,可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.2.若数列{cn}的通项公式为cn=其中数列{an},{bn}是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求{cn}的前n项和.

变式训练1已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,S3+S4=S5.(1)求数列{an}的通项公式;(2)令bn=(-1)n-1an,求数列{bn}的前2n项和T2n.解(1)设等差数列{an}的公差为d,由S3+S4=S5可得a1+a2+a3=a5,即3a2=a5,∴3(1+d)=1+4d,解得d=2,∴an=1+(n-1)×2=2n-1.(2)由(1)可得bn=(-1)n-1×(2n-1),∴T2n=(1-3)+(5-7)+…+[(4n-3)-(4n-1)]=(-2)·n=-2n.

探究二裂项相消法求和例2已知数列{an}的前n项和为Sn,满足S2=2,S4=16,{an+1}是等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;

解(1)设等比数列{an+1}的公比为q,其前n项和为Tn,因为S2=2,S4=16,所以T2=4,T4=20,

反思感悟(1)把数列的每一项拆成两项之差,求和时有些部分可以相互抵消,从而达到求和的目的.常见的拆项公式:

变式训练2设Sn为等差数列{an}的前n项和,已知S3=a7,a8-2a3=3.(1)求an;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.

探究三错位相减法求和例3已知{an}是各项均为正数的等比数列,且a1+a2=6,a1a2=a3.(1)求数列{an}的通项公式;(2){bn}为各项非零的等差数列,其前n项和为Sn,已知S2n+1=bnbn+1,求数列{}的前n项和Tn.

反思感悟1.一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,可采用错位相减法.2.用错位相减法求和时要注意:(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确地写出“Sn-qSn”的表达式.

变式训练3已知数列{an}的通项公式为an=3n-1,在等差数列{bn}中,bn0,且b1+b2+b3=15,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列.(1)求数列{anbn}的通项公式;(2)求数列{anbn}的前n项和Tn.

解(1)∵an=3n-1,∴a1=1,a2=3,a3=9.∵在等差数列{bn}中,b1+b2+b3=15,∴3b2=15,则b2=5.设等差数列{bn}的公差为d,又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,∴(1+5-d)(9+5+d)=64,解得d=-10或d=2.∵bn0,∴d=-10应舍去,∴d=2,∴b1=3,∴bn=2n+1.故anbn=(2n+1)·3n-1,n∈N+.

(2)由(1)知Tn=3×1+5×3+7×32+…+(2n-1)3n-2+(2n+1)3n-1,①3Tn=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)3n-1+(2n+1)3n,②①-②,得-2Tn=3×1+2×3+2×32+2×33+…+2×3n-1-(2n+1)3n=3+2(3+32+33+…+3n-1)-(2n+1)3n=3n-(2n+1)3n=-2n·3n.∴Tn=n·3n,n∈N+.

当堂检测答案C

A.13 B.10 C.9 D.6答案D

答案5000解析由题意得S100=a1+a2+…+a99+a100=(a1+a3+a5+…+a99)+(a2+a4+…+a100)=(0+2+4+…+98)+(2+4+6+…+100)=5000.

5.在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n,n∈N+.(1)设bn=,证明:数列{bn}是等差数列;(2)在(1)的条件下求数列{an}的前n项和Sn.(1)证明由已知an+1=2an+2n,∴bn+1-bn=1.又b1=a1=1,∴{b