;内容索引;知识网络整合构建;专题归纳思维深化;;归纳提升在等比数列和等差数列中,通项公式an和前n项和公式Sn共涉及五个量,即a1,an,n,q(d),Sn,其中首项a1和公比q(公差d)为基本量,“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1,an,n,q(d),Sn的方程组,通过方程的思想解出需要的量.;变式训练1记等差数列{an}的前n项和为Sn,设S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列,求Sn.;;(1)证明∵Sn+1=4an+2,①
∴当n≥2,n∈N+时,Sn=4an-1+2.②
①-②得an+1=4an-4an-1.;∴an=(3n-1)·2n-2.
∴Sn+1=4an+2=2n(3n-1)+2.
∴Sn=2n-1·(3n-4)+2(n≥2).
当n=1时,S1=1=a1,符合.
∴Sn=(3n-4)2n-1+2(n∈N+).;归纳提升由递推公式求通项公式,要求掌握的方法有两种:一种求法是先找出数列的前几项,通过观察、归纳得出,然后证明;另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列,再采用公式求出.;变式训练2已知数列{an}的首项a1=a,其前n项和为Sn,且满足Sn+Sn-1
=4n2(n≥2,n∈N+),若对任意n∈N+,anan+1恒成立,则a的取值范围是.?;;(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1,求Tn.;归纳提升(1)数列是一种特殊的函数,在求解数列问题时,若涉及参数取值范围、最值问题或单调性时,均可考虑采用函数的性质及研究方法指导解题.值得注意的是数列定义域是正整数集或{1,2,3,…,n},这一特殊性对问题结果可能造成影响.
(2)以函数为载体给出数列,只需代入函数式即可转化为数列问题.;变式训练3设y=f(x)是一次函数,f(0)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比数列,则f(2)+f(4)+…+f(2n)=.?;;解(1)设等比数列{an}的公比为q(q0),
则an=a1qn-1,且an0,;反思感悟某些数列通过适当分组,可得出两个或几个等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和,从而得出原数列的和.有些数列相邻两项的和是同一个常数或构成等差数列,这些数列的求和通常用并项法,但要注意对n分奇偶数讨论.;变式训练4(1)数列{(-1)nn}的前n项和为Sn,则S2020等于()
A.1010 B.-1010
C.2020 D.-2020
(2)已知数列1,1+2,1+2+22,…,1+2+22+…+2n-1,….
①求其通项公式an;
②求这个数列的前n项和Sn.;(1)答案A;方法2裂项相消法求和
例6已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn;;解(1)设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,
∵a3=7,a5+a7=26,
∴a1+2d=7,2a1+10d=26,解得a1=3,d=2.;反思感悟1.若数列{an}的通项能转化为f(n+1)-f(n)的形式,常采用裂项相消法求和.
2.使用裂项相消法求和时,要注意正负项相消时,消去了哪些项,保留了哪些项.
3.常见的裂项相消技巧有:;变式训练5在等比数列{an}中,an0(n∈N+),公比q∈(0,1),且a1a5+2a3a5+a2a8=25,a3与a5的等比中项为2.
(1)求数列{an}的通项公式;;解(1)∵a1a5+2a3a5+a2a8=25,;(2)∵bn=5-log2an=5-(5-n)=n,
∴bn+1-bn=1.
∴数列{bn}是以b1=1为首项,1为公差的等差数列.;方法3错位相减法求和
例7已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比数列.
(1)求{an}的通项公式;;解得a1=1,d=3或a1=8,d=-4(舍去),
∴an=a1+(n-1)d=1+3(n-1)=3n-2.;反思感悟一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an·bn}的前n项和时,就可采用错位相减法.
在写“Sn”与“qSn”的表达式时,应特别注意将两式“错项对齐”,以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.;变式训练6在数列{an}中,a1=1,点(an,an+1)在直线x-y+2=0上.
(1)求数列{an}的通项公式;;本课结束