7.7空间几何体中求夹角
【题型解读】
【题型一异面直线所成的角】
1.（2022·陕西安康·高三期末）如图，在三棱锥中，平面，是边长为的正三角形，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（???????）
A． B．
C． D．
2.（2022·江苏南通市高三模拟）已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（???????）
A． B． C． D．
3.（2022·陕西高三模拟）已知圆锥的顶点为，高和底面的半径之比为，设是底面的一条直径，为底面圆周上一点，且，则异面直线与所成的角为（）
A． B． C． D．
4.（2022·海原县高三模拟）四棱锥P﹣ABCD中，PD＝DA＝AB＝CD，AB∥CD，∠ADC＝90°，PD⊥平面ABCD，M为PC中点，平面ADM交PB于Q，则CQ与PA所成角的余弦值为（）
A． B． C． D．
5.（2022·山西·太原五中高一阶段练习）已知正四面体内接于半径为的球中，在平面内有一动点，且满足，则的最小值是___________；直线与直线所成角的取值范围为___________.
【题型二直线与平面所成的角】
1.（2022·全国高三模拟）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，，且.
(1)求证：平面平面；
(2)若，，求直线PB与平面ADP所成角的正弦值.
2.（2022·河北衡水中学高三模拟）如图，在三棱锥中，，点O?M分别是?的中点，底面.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小.
3.（2022·安徽·合肥市第六中学高一期中）如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，，为线段PD的中点．
（1）求证：
（2）求直线PB与平面CFB所成角的正弦值．
4.（2022·全国高三模拟）在长方体中，已知，为的中点.
（1）在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，若不存在，请说明理由；
（2）设，，点在上且满足，求与平面所成角的余弦值.
5.（2022·浙江湖州·模拟预测）已知四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，是斜边为的等腰直角三角形．
(1)若时，求证：平面平面；
(2)若时，求直线与平面所成的角的正弦值．
【题型三平面与平面的夹角】
1.（2022·江西高三模拟）如图，在四棱锥P－ABCD中，平面平面ABCD，为等边三角形，，，M是棱上一点，且.
(1)求证：平面MBD；
(2)求二面角M－BD－C的余弦值.
2.（2022·重庆八中高三阶段练习）如图，正三棱柱中，E，F分别是棱，上的点，平面平面，M是AB的中点．
(1)证明：平面BEF；
(2)若，求平面BEF与平面ABC夹角的大小．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?
4.（2022·全国·高三专题练习）在四棱锥中，平面，底面为梯形，，，，，．
（1）若为的中点，求证：平面；
（2）若为棱上异于的点，且，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【题型四空间角的综合运用】
1.（2022·山东·模拟预测）在矩形中，，，沿对角线将矩形折成一个大小为的二面角，若，则下列结论中正确结论的个数为（???????）
①四面体外接球的表面积为
②点与点之间的距离为
③四面体的体积为
④异面直线与所成的角为
A． B． C． D．
2.（2022·福建·三明一中模拟预测）已知正方体中，，点E为平面内的动点，设直线与平面所成的角为，若，则点E的轨迹所围成的面积为___________．
3.（2022·广东佛山市高三模拟）（多选）在四边形中(如图1)，，将四边形沿对角线折成四面体（如图2所示），使得，E，F，G分别为的中点，连接为平面内一点，则（???????）
A．三棱锥的体积为
B．直线与所成的角的余弦值为
C．四面体的外接球的表面积为
D．若，则Q点的轨迹长度为
4.（2022·云南昆明市高三模拟）（多选）已知正方体的棱长为，则下列命题正确的是（???????）
A．点到平面的距离为
B．直线与平面所成角的余弦值为
C．若、分别是、的中点，直线平面，则
D．为侧面内的动点，且，则三棱锥的体积为定值