7.1条件概率与全概率公式
【题型归纳目录】
题型一：利用定义求条件概率
题型二：条件概率的性质及应用
题型三：全概率公式
题型四：贝叶斯公式
题型五：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用
【知识点梳理】
1、条件概率的概念
条件概率揭示了三者之间“知二求一”的关系
一般地，设A，B为两个随机事件，且，我们称为在事件发生的条件下，事件发生的条件概率，简称条件概率．
2、概率的乘法公式
由条件概率的定义，对任意两个事件与，若，则．我们称上式为概率的乘法公式．
3、条件概率的性质
设，则
（1）
（2）如果与是两个互布事件，则；
（3）设和互为对立事件，则．
4、全概率公式
在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化整为零”的思想将它门闷分解为一些较为容易的情况分别进行考虑
一般地，设是一组两两互F的事件，，且，则对任意的事件，有
我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一．
5、贝叶斯公式
设是一组两两互压的事件，，且，则对任意事件，有
6、在贝叶斯公式中，和分别称为先俭概率和后验概率．
【典型例题】
题型一：利用定义求条件概率
【典例1-1】（2024·四川德阳·模拟预测）质数（primenumber）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”.如：3和5，5和7……，在1900年的国际数学大会上，著名数学家希尔伯特提出了23个问题，其中第8个就是大名鼎鼎的孪生素数猜想：即存在无穷多对孪生素数.我国著名数学家张益唐2013年在《数学年刊》上发表论文《素数间的有界距离》，破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式.那么，如果我们在不超过的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件，这两个数都是素数；事件：这两个数不是孪生素数，则（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】不超过的自然数有个，其中素数有共个，
孪生素数有和，和，和，和，共组.
所以，，
所以.
故选：D
【典例1-2】（23·24高三上·河北·期末）第19届亚运会在杭州举行，为了弘扬“奉献，友爱，互助，进步”的志愿服务精神，5名大学生将前往3个场馆开展志愿服务工作．若要求每个场馆都要有志愿者，则当甲不去场馆时，场馆仅有2名志愿者的概率为（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不考虑甲是否去场馆，所有志愿者分配方案总数为，
甲去场馆的概率相等，所以甲去场馆或的总数为，
甲不去场馆，分两种情况讨论，
情形一，甲去场馆，场馆有两名志愿者共有种；
情形二，甲去场馆，场馆场馆均有两人共有种，
场馆场馆均有两人共有种，所以甲不去场馆时，
场馆仅有2名志愿者的概率为.
故选：B．
【变式1-1】（2024高三上·全国·竞赛）随机事件A，B，C满足，则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知：，
例如，为互斥事件，则，
可知，
则，满足题意，
所以，显然，
即的取值范围包含，结合选项可知D正确.
故选：D.
【变式1-2】（2024·福建漳州·模拟预测）甲、乙两名大学生利用假期时间参加社会实践活动，可以从，，，四个社区中随机选择一个社区，设事件为“甲和乙至少一人选择了社区”，事件为“甲和乙选择的社区不相同”，则（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】甲、乙两名大学生从四个社区中随机选择一个社区的情况共有（种），
事件发生的情况共有（种），事件和事件同时发生的情况共有6种，
所以.
故选：B.
【变式1-3】（21·22高二下·陕西咸阳·阶段练习）抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记两次的点数均为偶数，两次的点数之和为8，则（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】抛掷一枚质地均匀的骰子两次，基本事件共有种，
其中事件有种，
事件有共种，
所以.
故选：C.
【变式1-4】（2024·湖南邵阳·一模）在某次美术专业测试中，若甲、乙、丙三人获得优秀等级的概率分别是和，且三人的测试结果相互独立，则测试结束后，在甲、乙、丙三人中恰有两人没达优秀等级的前提条件下，乙没有达优秀等级的概率为（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设甲、乙、丙三人获得优秀等级分别为事件，三人中恰有两人没有达到优秀等级为事件D，
，，，
，
，
.
故选：A.
【方法技巧与总结】
利用定义计算条件概率的步骤
(1)分别计算概率和．
(2)将它们相除得到条件概率，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生．
题型二：条件概率的性质及应用
【典例2-1】（23·24高二上·河南南阳·期末）已知，，则.
【答案】
【解