6.1等差数列6大题型
【题型解读】
【题型一等差数列基本量的运算】
1.（2022·四川遂宁市高三期末）已知公差不为0的等差数列中，，，则______．
【答案】2.5
【解析】设等差数列的公差为，，，
，，解得：，
则，故答案为：．
2.（2022·广东茂名市·高三二模）已知是数列的前项和，则“”是“数列是公差为2的等差数列”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】已知，所以，当时，，
所以数列是公差为2的等差数列；当数列是公差为2的等差数列时，因为不知首项，所以数列的前n项和不确定，所以是充分不必要条件故选：A
3.【2022年全国乙卷】记Sn为等差数列an的前n项和．若2S3
【答案】2
【解析】由2S3=3S2
即2(a1+2
故答案为：2.
4.（2022·福建省德化第一中学模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则的值为（???????）
A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【解析】因为，由等差数列的性质和求和公式得，即，
则.
故选：C.
5.（2022·全国高三模拟）已知等差数列的前项和为，若成等差数列，且成等比数列．则__________
【答案】
【解析】为等差数列，设首项为，公差为，且成等差数列，
，化简可得，
又成等比数列，
，
，
，解得：或，
，当时，，舍去
当时，，
.
故答案为：.
【题型二等差数列的性质及应用】
1.（2022·黑龙江哈尔滨市模拟）已知数列是等差数列，为数列的前项和，，，则（???????）
A．10 B．15 C．20 D．40
【答案】C
【解析】数列是等差数列，为数列的前项和，
根据等差数列的性质得到：仍成等差数列，
记，设，
，，
，
，
计算可得到结果为：20.故选：C.
2.（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前项和为，若，，则等于（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由等差数列的前项和性质，
得：，，也成等差数列，
即，
又因，，则解得，
因此.
故选：C.
3.（2022·全国·高三专题练习）已知数列，为等差数列，其前项和分别为，，，则（）
A． B． C． D．2
【答案】D
【解析】根据等差数列的性质可得，
所以可设，.
则，，所以.故选:D.
4.（2022·全国·高三专题练习）已知等差数列的前n项和为，若，，则（???????）
A．－10 B．－20 C．－120 D．－110
【答案】C
【解析】，
，则.故选：C
5．（2022·山西临汾市一模）已知等差数列的前项和为，，则（???????）
A． B．13 C．-13 D．-18
【答案】D
【解析】由，可设
∵为等差数列，∴S3，S6S3，S9S6为等差数列，
即a，6a，成等差数列，∴，即∴故选:D.
6.（2022·全国·高三专题练习）等差数列的前项和为，若且，则(???????)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设的公差为d，∵∴，
即{}为等差数列，公差为，由知，故故选：A﹒
【题型三等差数列的判定与证明】
1.【2022年全国甲卷】记Sn为数列an的前n项和．已知
(1)证明：an
(2)若a4,a
【答案】(1)证明见解析；
(2)-78．
【解析】(1)解：因为2Snn+n=2
当n≥2时，2Sn-1
①-②得，2S
即2a
即2n-1an-2n-1an-1
所以an是以1
(2)解：由（1）可得a4=a1+3
又a4，a7，a9
即a1+62
所以an=n-13，所以
所以，当n=12或n=13时Sn
2．（2022·湖北荆州·高三期末）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：数列是等差数列;
（2）求的通项公式．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】（1）由已知得,且，,
取,由得,由于为数列的前n项积，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以数列是以为首项，以为公差等差数列;
（2）由（1）可得，数列是以为首项，以为公差的等差数列，
,
,
当n=1时，,
当n≥2时,,显然对于n=1不成立,
∴.
3.（2022·浙江温州市·高三三模）已知正项数列满足，且对任意的正整数n，是和的等差中项，证明：是等差数列，并求的通项公式；
【答案】证明见解析；
【解析】证明：由题知，即有，
所以是以为首项，公差为2的等差数列，即，
当时，
，当时，也符合题意，
所以，又，所以：；
4.（2022·河北路南·唐山一中月考）已知数列，且满足（且），证明新数列是等差数列，并求出的通项公式.
【答案】证明见解析，；
【解析】由可得，
则，又，
所以，数列是首项为2，公差为1的