5.4三角函数的图象与性质
【考点1：正弦、余弦函数的图象】
【考点2：正弦、余弦函数的周期】
【考点3：正弦、余弦函数的奇偶性】
【考点4：正弦、余弦函数的单调性】
【考点5：正弦、余弦函数的最值】
【考点6：正切函数的性质与图像】
知识点1：正弦、余弦函数的图象
正弦函数,的图象叫做正弦曲线.
余弦函数,的图叫做余弦曲线.
知识点2：正弦、余弦函数图象的画法
1.正弦图像画法：
(1)几何法:
①在单位圆上,将点绕着点旋转弧度至点,根据正弦函数的定义,点的纵坐标.由此,以为横坐标,为纵坐标画点,即得到函数图象上的点.
②将函数,的图象不断向左、向右平行移动(每次移动个单位长度).
(2)“五点法”:
在函数,的图象上,以下五个点:
，，，，
在确定图象形状时起关键作用.描出这五个点,函数,的图象形状就基本确定了.因此,在精确度要求不高时,常先找出这五个关键点,再用光滑的曲线将它们连接起来,得到正弦函数的简图.
2.余弦图像画法
(1)要得到,的图象,只需把,的图象向左平移个单位长度即可,这是因为.
(2)用“五点法”:画余弦函数在上的图象时,所取的五个关键点分别为，，，，再用光滑的曲线连接起来.
知识点3：正弦函数、余弦、正切函数的图象和性质
函数
图象
定义域
定义域
值域
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
单调性
在每一个闭区间()上都单调递增;在每一个闭区间(上都单调递减
在每一个闭区间
()上都单调递增;在每一个闭区间()上都单调递减
最值
当()时，;
当()时，;
当()时，;
当()时，;
图象的对称性
对称中心为(),
对称轴为直线()
对称中心为(),
对称轴为直线()
【考点1：正弦、余弦函数的图象】
【典例1】用“五点法”作出下列函数的简图：
(1)y=1
(2)y=1-cos
【答案】(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【分析】（1）列表,令x=0,π
（2）列表,令x=0,π
【详解】（1）按五个关键点列表：
x
0
π
π
3
2
sin
0
1
0
-1
0
1
1
3
1
-
1
描点，并将它们用光滑的曲线连接起来（如图）：
??
（2）按五个关键点列表：
x
0
π
π
3
2
cos
1
0
-1
0
1
1-
0
1
2
1
0
描点，并将它们用光滑的曲线连接起来（如图）：
??
【变式1-1】用五点法分别画出下列函数在-π
(1)y=-sin
(2)y=2-cos
【答案】(1)画图见解析
(2)画图见解析
【分析】根据五点作图法的方法描点,再用光滑曲线连接起来即可.
【详解】（1）①列表得：
x
-
-
0
π
π
sin
0
-1
0
1
0
y=
0
1
0
-1
0
②描出各点；
③用平滑的曲线将以上各点连接起来连线.
??
（2）①列表得：
x
-
-
0
π
π
cos
-1
0
1
0
-1
y=2-
3
2
1
2
3
②描出各点；
③用平滑的曲线将以上各点连接起来连线.
??
【变式1-2】用“五点法”作y=cosx+12
【答案】图象见解析
【分析】按列表、描点、连线的顺序完成作图.
【详解】（1）取值列表：
x
-
-
0
π
π
cos
－1
0
1
0
－1
cos
-
1
3
1
-
（2）描点连线，如图所示.
??
【考点2：正弦、余弦函数的周期】
【典例2】求下列三角函数的周期．
(1)y=7sinx，
(2)y=sin2x，
(3)y=|cosx|，
【答案】(1)2kπ
(2)kπ
(3)kπ
【分析】结合三角函数的图象与性质，利用周期函数的定义求解即可.
【详解】（1）因为7sinx+2π=7sinx，由周期函数的定义知，
（2）因为sin2x+π=sin2x+2π
（3）y=|cosx|
由图象可知，y=|cosx|的周期为kπ
【变式2-1】函数fx=-3sin
A．4π B．6π C．4 D
【答案】C
【分析】根据T=2π
【详解】因为fx=-3sinπ3
故选：C
【变式2-2】下列函数中，以2π为最小正周期的是（????
A．y=sinx B．y=sin2x C．
【答案】D
【分析】对于AD，根据图象变换和周期公式分析判断，对于BC，根据周期公式分析判断.
【详解】对于A，y=sinx的图象是由y=sinx把
则最小正周期为π，故A错误；
对于B，y=sin2x的最小正周期为2π
对于C，y=cos4x的最小正周期为2π
对于D，y=cosx2的图象是由y=cosx
则最小正周期为2π，故D
故选：D．
【变式2-3】已知函数fx=sin2ωx-π6的最小正周期为π5
A．4 B．5 C．8 D．10
【答案】B
【分析