5.4三角函数的图象和性质
三角函数的图象与性质
函
函
数
性
质
图象
定义域
值域
最值
当时，；当
时，．
当时，
；当
时，．
既无最大值也无最小值
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数；
在
上是减函数．
在上是增函数；
在上是减函数．
在
上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴
对称中心
对称轴
对称中心
无对称轴
三角函数型函数的图象和性质
正弦型函数、余弦型函数性质
，
振幅，决定函数的值域，值域为
决定函数的周期，
叫做相位，其中叫做初相
正切型函数性质
的周期公式为：
考点1正弦函数的图象与性质
【例1】已知函数，则下列四个结论中正确的是（????）
A．函数的图象关于中心对称 B．函数的图象关于直线对称
C．函数在区间内有4个零点 D．函数在区间上单调递增
【答案】C
【分析】A选项，计算出，A错误；B选项，计算出，B错误；C选项，求出，求出，，0，，可得到零点个数；D选项，整体法求出函数的单调递增区间，作出判断.
【详解】A选项，，A错误；
B选项，，B错误；
C选项．当时，函数，
当，，0，时，，
解得或或或，有4个零点，C正确；
D选项，由，，
解得
所以单调递增区间为，，
令，得，，得
所以在区间上不是单调递增的，D错误．
故选：C．
【变式1-1】下列区间中，函数单调递增的区间是（????）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先求函数的单调递增区间，再根据选项判断.
【详解】令，，得，，
当时，增区间是，当时，增区间是，
其中只有是增区间的子集.
故选：C
【变式1-2】已知函数，则下列结论中错误的是（????）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于直线对称
C．函数在区间上是增函数
D．函数的图象可由的图象向右平移个单位得到
【答案】C
【分析】根据周期公式可判断A；代入验证可判断B；根据在处取得最大值可判断C；利用平移变换即可判断D.
【详解】对于A，，A正确，不符合题意；
对于B，因为，
当时，取得最大值，故函数的图象关于直线对称，B正确，不符合题意；
对于C，由上知在处取得最大值，故在区间上不可能单调递增，C错误，符合题意；
对于D，将的图象向右平移个单位得，故D正确，不符合题意.
故选：C
【变式1-3】已知，则下列说法正确的是（????）
A．的图象关于直线对称；
B．在上单调递增；
C．在上的值域为；
D．图象可由的图象向右平移个单位长度得到．
【答案】B
【分析】由正弦函数性质判断ABC，由图象变换判断D．
【详解】，因此的图象关于点成中心对称，A错；
时，，函数递增，B正确；
时，，，C错；
的图象向右平移个单位长度得到图象的解析式为，D错，
故选：B．
【变式1-4】已知函数的最小正周期为，则函数图象的一个对称中心为（????）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据最小正周期得到，得到解析式，进而得出对称中心，即得解.
【详解】由函数的最小正周期，得，所以．
由，得，
所以函数图象的对称中心为．
显然当时，一个对称中心为，其他选项均不合要求．
故选：C．
【变式1-5】函数的最大值和最小正周期分别是（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据正弦函数有界性得到最大值，根据求出最小正周期.
【详解】因为，所以，
故最大值为3，
且最小正周期为.
故选：D
【变式1-6】若函数，则（????）
A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称
C．在上有最小值 D．的图象关于直线对称
【答案】D
【分析】根据三角函数的周期性、对称性、最值等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】，
最小正周期，A选项错误.
，所以B选项错误.
若，
所以在上没有最小值，所以C选项错误.
，所以D选项正确.
故选：D
【变式1-7】函数的单调递增区间为（????）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先求出定义域，再根据复合函数单调性即可得到单调增区间.
【详解】令，可得．
当时，函数单调递增．
所以当时，单调递增．
故在上单调递增．
故选：A.
【变式1-8】函数的最小正周期是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用辅助角公式将函数化简，再根据图象性质求周期.
【详解】，
将函数图象在x轴下方部分翻折到x轴上方，所以最小正周期为.
故选：C.
【变式1-9】函数是（????）
A．奇函数，且最小值为 B．奇函数，且最大值为
C．偶函数，且最小值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】D
【分析】根据题意，结合函数的奇偶性，判定A、B不正确；再结合三角函数的图象与性质，求得函数的最大值和最小值，即可求解.
【详解】由函数，可得其定义域，关于原点对称，
且，所以函数为偶函数，
因为，
所