4.2对数运算与对数函数
对数的运算
对数的定义
如果，那么把叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数
对数的分类
一般对数：底数为，，记为
常用对数：底数为10，记为，即：
自然对数：底数为e（e≈2.71828…），记为，即：
对数的性质与运算法则
①两个基本对数：①，②
②对数恒等式：①，②。
③换底公式：；
推广1：对数的倒数式
推广2：。
④积的对数：；
⑤商的对数：；
⑥幂的对数：?，?，
?，?
对数函数
对数函数的定义及一般形式
形如：的函数叫做对数函数
对数函数的图象和性质
图象
性质
定义域：
值域：
当时，即过定点
当时，；
当时，
当时，；
当时，
在上为增函数
（5）在上为减函数
考点1指对互化
【例1】已知，若且，则a＝（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由左右同取对数可得，将代入计算即可得.
【详解】由，故，即，又，
故，即.
故选：D.
【变式1-1】若且，则（????）
A． B．6 C．36 D．12
【答案】C
【分析】将化成对数式，代入，利用换底公式等计算即可.
【详解】因为，所以，
所以.
解得：.
故选：C.
【变式1-2】已知，则.
【答案】
【分析】利用指数式与对数式互化关系及指数运算法则求解即得.
【详解】由，得，即，所以.
故答案为：
【变式1-3】设，则.
【答案】1
【分析】根据对数的运算，可得答案.
【详解】由题意，可得，，
.
故答案为：.
【变式1-4】．，且，则的值为.
【答案】
【分析】对数式转化指数式，再利用指数运算性质求解.
【详解】因为，且，
所以有，则.
故答案为：.
考点2对数运算
【例2】计算的值为（????）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】直接由指数、对数的运算性质运算即可.
【详解】由题意
.
故选：C.
【变式2-1】设，则的值为（????）
A． B． C．26 D．27
【答案】A
【分析】根据对数的运算法则及性质化简求值即可.
【详解】因为，
，
所以.
故选：A.
【变式2-2】（且）的值为（????）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据题意，由对数的运算，代入计算，即可得到结果.
【详解】原式．
故选：B
【变式2-3】已知，则（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数和对数的互化、对数运算法则进行转化即可.
【详解】，，，
，，
.
故选：C.
【变式2-4】已知，则的值（????）
A． B． C．1 D．2
【答案】C
【分析】由，得到，然后由求解.
【详解】解：因为，
所以，
所以，
故选：C
考点3对数函数的定义域
【例3】函数的定义域是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据真数大于0得到不等式，求出定义域.
【详解】令，解得，
故的定义域为.
故选：B
【变式3-1】已知集合，则（??）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】解不等式化简集合A，求出函数的定义域化简集合B，再利用并集的定义求解即得.
【详解】解不等式，得，即，
函数有意义，得，解得，则，
所以.
故选：C
【变式3-2】已知集合，，则（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的定义域、指数函数的值域求得，进而求得.
【详解】由，解得，所以，
而，所以，
所以.
故选：A
【变式3-3】函数的定义域为（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】熟记函数定义域，直接求解即可.
【详解】由题意知且，解得，故定义域为．
故选：B
考点4对数型函数的图像
【例4】已知指数函数，对数函数的图象如图所示，则下列关系成立的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，由指数函数以及对数函数的单调性即可得到的范围，从而得到结果.
【详解】由图象可得，指数函数为减函数，
对数函数为增函数，
所以，
即.
故选：B
【变式4-1】已知函数为常数，其中的图象如图，则下列结论成立的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数图象可根据函数的单调性以及经过的点求解.
【详解】由该函数的图象通过第一、二、四象限知该函数为减函数，所以；
因为图象与轴的交点在轴上方，所以，所以.
故选：D
【变式4-2】当a1时，在同一直角坐标系中，函数与的图像是（????）
A．B．??
C．??D．??
【答案】A
【分析】由可知，根据指数函数和对数函数图象的单调性即可判断得出结果.
【详解】依题意可将指数函数化为，由可知；
由指数函数图象性质可得为单调递减，且过定点，即可