4.1指数运算与指数函数
指数的基本知识
根式的基本性质
①的定义域为,的定义域为
②，定义域为
③，定义域为
④，定义域为
⑤，定义域为
指数的基本性质
①零指数幂:;
②负整数指数幂:
③正分数指数幂:;
④负分数指数幂:
指数的基本计算
①同底数幂的乘法运算②同底数幂的除法运算
③幂的乘方运算④积的乘方运算
指数函数
指数函数的定义及一般形式
一般地，函数，叫做指数函数
指数函数的图象和性质
图
象
定义域
值域
性质
过定点
考点1指数幂的运算
【例1】已知且，下列等式正确的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】ABC选，利用指数幂的运算法则判断，D选项，由分数指数幂的定义得到D正确.
【详解】A选项，且，故，A错误；
B选项，且，故，B错误；
C选项，，C错误；
D选项，且，故，D正确.
故选：D
【变式1-1】将写成分数指数幂的形式为（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据根式与指数幂的互化即可求解.
【详解】将写成分数指数幂的形式为.
故选：B.
【变式1-2】．（），则b等于（????）
A． B．34 C．43 D．35
【答案】A
【分析】根据分数指数幂的概念可以表示出
【详解】因为且，所以.
故选：A
【变式1-3】设，将表示成指数幂的形式，其结果是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合根式与分数指数幂的互化，根据指数运算法则化简即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：C
【变式1-4】下列运算不正确的是（????）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据指数幂的运算法则及运算性质，分选项排除即可．
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，成立，故B正确；
对于C，，成立，故C正确；
对于D，当且时，和无意义，故D错误，
故选：D．
考点2指数函数的一般形式
【例2】若函数是指数函数，则等于（????）
A．或 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的定义求解即可.
【详解】因为函数是指数函数，
所以.
故选：C
【变式2-1】函数是指数函数，则（????）
A．或 B． C． D．且
【答案】C
【分析】由指数函数的定义可得，同时，且，从而可求出的值
【详解】由指数函数定义知，同时，且，所以解得.
故选：C
【变式2-2】若函数是指数函数，则等于（????）
A．或 B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值.
【详解】由题意可得，解得.
故选：C.
【变式2-3】若是指数函数，则有（????）
A．或 B．
C． D．且
【答案】C
【分析】根据指数函数的概念，由所给解析式，可直接求解.
【详解】因为是指数函数，
所以，解得.
故选：C．
考点3指数函数恒过定点问题
【例3】已知指数函数的图象经过点，则（????）
A．4 B．1 C．2 D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的特征，结合经过的点即可求解.
【详解】由指数函数的图象经过点可得
，解得，
所以，
故选：A
【变式3-1】指数函数的图象经过点，则a的值是（????）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】将已知点的坐标代入指数函数的表达式，求得的值.
【详解】因为的图象经过点，
所以，解得，
故选：B.
【变式3-2】函数，且a≠1)的图象经过点，则f(-2)=（）
A． B． C． D．9
【答案】D
【分析】把点坐标代入解析式可得可得答案.
【详解】由，解得，所以．
故选：D.
【变式3-3】已知函数（，且）的图象经过点，则a的值为（????）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】将代入即可求出a的值.
【详解】因为函数（，且）的图象经过点，
所以，解得：.
故选：B.
【变式3-4】函数恒过定点（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据指数函数的性质即可得到过定点
【详解】指数函数（且）过定点，
所以，当时的值恒为2，即过定点，
故选：B
【变式3-5】已知函数（，）恒过定点，则函数的图象不经过（????）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】利用指数函数的性质求解.
【详解】∵，∴恒过定点，
∴，，∴，其图象不经过第四象限，
故选：D.
【变式3-6】函数（，且）的图象过定点P，则点P的坐标是（????）
A．(1,5) B．(1,4) C．(0,4) D．(4,0)
【答案】A
【分析】根据指数型函数图象过定点的知识即得.
【详解】当时，，
所以.
故选：A.
【变式3-7】函数（其中，）的图象恒过的定点是（????）
A． B． C． D．
【