5.2三角函数概念
【考点1：三角函数的定义】
【考点2：由三角函数值求终边上的点或参数】
【考点3：同角三角函数公式】
【考点4：sinθ±cosθ型求值问题】
【考点5：弦的齐次问题】
知识点1：任意角的三角函数定义
1、单位圆定义法：
如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点
①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即
②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即?
③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()?
我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数
2、终边上任意一点定义法：
在角终边上任取一点，设原点到点的距离为
①正弦函数：
②余弦函数：?
③正切函数：()?
知识点2：三角函数值在各象限的符号
,,在各象限的符号如下:（口诀“一全正,二正弦,三正切,四余弦”）
知识点3：特殊的三角函数值
角度
弧度
正弦值
余弦值
正切值
知识点4：三角函数线
设角的终边与单位圆相交点；④由点向轴做垂线，垂足为点；⑤由点作单位圆的切线与终边相交于点。如下图所示：在中：
为正弦线，长度为正弦值。
为余弦线，长度为余弦值。
在中：。为正切线，长度为正切值。
知识点5：同角三角函数公式
【考点1：三角函数的定义】
【典例1】若角α的终边过点P(-2,1)，则cosα的值为（?????
A．-55 B
C．-255
【答案】C
【分析】由P点坐标求出点P到原点的距离，利用余弦函数的定义可得结果.
【详解】∵角α的终边过点P(-2,1)，
∴OP=
∴cosα=
故选：C.
【变式1-1】已知角α终边上有一点P-3,4，则sinα的值为（
A．4 B．-35 C．35
【答案】D
【分析】由任意角三角函数的定义求解即可.
【详解】因为点P-3,4是角α
所以sinα=
故选：D.
【变式1-2】若角α的终边上有一点A(-3,-3)，则cosα=
【答案】-
【分析】若角α的终边上有一点A(x,y)，则cosα=xr
【详解】∵角α的终边上有一点A(-3,-3)，
∴|OA|=(-3)
∴cosα=
故答案为：-
【变式1-3】已知sinα=34，α是第二象限角，则
【答案】-37
【分析】根据给定条件，利用同角公式计算即得.
【详解】由sinα=34，α
所以tanα=
故答案为：-
【考点2：由三角函数值求终边上的点或参数】
【典例2】在平面直角坐标系中，已知角α的终边经过点P(a,a-3)，且cosα=55，则a
A．1 B．92 C．1或92 D．1
【答案】A
【分析】
利用三角函数的定义，直接列出关系式求出a的值．
【详解】
角α的终边经过点P(a,a-3)，且cosα=
所以cosα=aa
解得a=-3（舍）或a=1．
故选：A．
【变式2-1】已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P2a,a-2，且cosα=45，则实数
A．-4和45 B．45 C．-4 D
【答案】B
【分析】分析可知，a0，由三角函数的定义可得出关于a的方程，即可解出a的值.
【详解】由三角函数的定义可得cosα=2a2a
整理可得5a2+16a-16=0，因为
故选：B.
【变式2-2】已知α是第二象限的角，P(x,8)为其终边上的一点，且sinα=45，则x=
A．-6 B．±6 C．±323 D
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用三角函数的定义列式计算即得.
【详解】依题意，x0，r=|OP|=x2+64
则sinα=8x
故选：A
【变式2-3】（多选）若角α的终边经过点Pm,32,sin
A．12 B．-12 C．3
【答案】AB
【分析】由已知结合三角函数的定义即可求解.
【详解】sinα=32
故选:AB
【考点3：同角三角函数公式】
【典例3】在Rt△ABC中，C=90°,tanA=2，则sin
A．-255 B．-55 C
【答案】D
【分析】由同角三角函数的商关系可得cosA=1
【详解】易知A为锐角，由tanA=2，得cos
由sin2A+cos
故选：D
【变式3-1】多选题已知cosα=45，则sin
A．-35 B．35 C．-
【答案】AB
【分析】根据同角关系即可求解，
【详解】cosα=45
则sin2
当α是第一象限角，sinα=
当α是第四象限角，sin
故选：AB
【变式3-2】已知sinα=14，tanβ=2
【答案】±
【分析】根据同角三角函数的关系求解即可.
【详解】因为sinα=14
则tanα=
又tanβ=
则cosβ=±55
故答案为：±3
【变式3-3】已知tanα=2，则sinα+2
【答案】43/
【分